Source: www.pexels.com

Soal dan Pembahasan Induksi Matematika


 
Induksi matematika merupakan salah satu bab yang dipelajari di matematika SMA. Pada kesempatan kali ini saya akan share Materi, soal dan pembahasan. Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian identitas atau kesamaan dalam matematika. Metode ini sangat berguna dalam olimpiade matematika.

Langkah-langkah pembuktian dengan Induksi matematika:
1. Buktikan kesamaan benar untuk $n=1$.
2. Asumsikan kesamaan benar untuk $n=k$
3. Kemudian buktikan bahwa kesamaan juga benar untuk $n=k+1$.

Jika kita dapat membuktikan untuk $n=k+1$ , maka identitas atau kesamaan tersebut benar untuk setiap bilangan asli $n$.

Soal 1
Buktikan dengan induksi matematika bahwa $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ .
Pembahasan:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $1=\frac{1(1+1)}{2}$ [benar]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ yaitu
$1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$1+2+3+...+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Perhatikan kesamaan pada langkah 2. Jika ditambah dengan $k+1$ kedua ruas maka diperoleh
$\begin{align*}1+2+3+...+k+k+1&=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)\\
&=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}\\
&=\frac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{align*}$ 
 [Terbukti]

 Soal 2
Buktikan bahwa jumlah n bilangan asli kuadrat pertama adalah
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Penyelesaian:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $1^2=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}$ [benar]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ yaitu
$1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$1^2+2^2+3^2+...+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$

Perhatikan kesamaan pada langkah 2. Jika ditambah dengan $(k+1)^2$ kedua ruas maka diperoleh
$\begin{align*}1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2&=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\
&=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\\
&=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}\\
&=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\
&=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\
&=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}
\end{align*}$ 
 (Terbukti)

Soal 3
Buktikan untuk setiap $n$ asli berlaku $1+3+3^2+3^3+...+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2}$
Penyelesaian:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $1=\frac{3-1}{2}$ [benar]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ yaitu
$1+3+3^2+3^3+...+3^{k-1}=\frac{3^k-1}{2}$

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$1+3+3^2+3^3+...+3^k=\frac{3^{k+1}-1}{2}$

Perhatikan kesamaan pada langkah 2. Jika ditambah dengan $3^k$ kedua ruas maka diperoleh
$\begin{align*}1+3+3^2+3^3+...+3^{k-1}+3^k&=\frac{3^k-1}{2}+3^k\\
&=\frac{3^k-1+2\times 3^k}{2}\\
&=\frac{3\times 3^k -1}{2}\\
&=\frac{3^{k+1}-1}{2}
\end{align*}$ 
 [Terbukti]

Soal 4
Untuk setiap bilangan asli $n$ buktikan bahwa $n(n+1)$ selalu habis dibagi 2.
Penyelesaian:
 Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $1\times(1+1)$ [benar habis dibagi 2]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ maka
$k(k+1)$ [habis dibagi 2]

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$(k+1)(k+2)$ [juga habis dibagi 2]

Perhatikan kesamaan pada langkah 3.
$\begin{align*}(k+1)(k+2)&=k^2+3k+2\\
&=k^2+k+2k+2\\
&=k^2+k+2(k+1)
\end{align*}$ 
karena $k^2+k$ dan $2(k+1)$ habis dibagi 2 maka Terbukti.

Soal 5
Buktikan bahwa  $n^3+2n$ habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli $n$
Penyelesaian:
 Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $1^3+2\times 1$ [benar habis dibagi 3]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ maka
$k^3+2k$ [habis dibagi 3]

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$(k+1)^3+2(k+1)$ [juga habis dibagi 3]

Perhatikan langkah 3.
$\begin{align*}(k+1)^3+2(k+1)&=k^3+3k^2+3k+1+2(k+1)\\
&=k^3+2k+3k^2+3k+3\\
&=k^3+2k+3(k^2+k+1)
\end{align*}$ 
karena $k^3+2k$ dan $3(k^2+k+1)$ habis dibagi 3 maka Terbukti.

Soal 6
Buktikan bahwa $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
Penyelesaian:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $1^3=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2$ [benar]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ yaitu
$1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$1^3+2^3+3^3+...+(k+1)^3=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$

Perhatikan kesamaan pada langkah 2. Jika ditambah dengan $(k+1)^3$ kedua ruas maka diperoleh
$\begin{align*}1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3&=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3\\
&=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}\\
&=\frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1)}{4}\\
&=\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}\\
&=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{2^2}\\
&=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2
\end{align*}$ 
 [Terbukti]


Soal 7
Buktikan bahwa $5^n-1$ merupakan bilangan kelipatan 4 untuk setiap bilangan asli n.
Penyelesaian:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $5^1-1$ [benar kelipatan 4]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ maka
$5^k-1$ [bilangan kelipatan 4]

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$5^(k+1)-1$ [juga bilangan kelipatan 4]

Perhatikan langkah 3.
$\begin{align*}5^(k+1)-1&=5\times 5^k-1\\
&=5\times 5^k-5+4\\
&=5(5^k-1)+4
\end{align*}$ 
karena $5(5^k-1)$ dan $4$ habis dibagi 4 maka Terbukti.

Soal 8
Buktikan bahwa $1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+...+n\times(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Penyelesaian:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $1 \times 2=\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$ [benar]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ yaitu
$1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+...+k\times(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+...+(k+1)\times(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

Perhatikan kesamaan pada langkah 2. Jika ditambah dengan $(k+1)(k+2)$ kedua ruas maka diperoleh
$\small{ \begin{align*}1 \times 2+2 \times 3+...+(k+1)\times(k+2)&=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)\\
&=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}\\
&=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}
\end{align*}}$ 
 (Terbukti)

Soal 9
Buktikan bahwa $3^{2n}-1$ habis dibagi oleh 8 untuk setiap bilangan asli $n$.
Penyelesaian:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $3^2-1$ [benar habis dibagi 8]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ maka
$3^{2(k+1)}-1$ [habis dibagi 8]

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$3^{2(k+1)}-1$ [juga habis dibagi 8]

Perhatikan kesamaan pada langkah 3.
$\begin{align*}3^{2(k+1)}-1&=9\times 3^2k -1 \\
&=9\times 3^{2k}-9+8\\
&=9(3^{2k}-1)+8
\end{align*}$ 
karena $9(3^{2k}-1)$ dan $8$ habis dibagi 8 maka Terbukti.

Soal 10 
Untuk setiap bilangan asli $n$ buktikan bahwa bentuk $2^{4n+3}+3^{3n+1}$ habis dibagi oleh 11.
Penyelesaian:
Langkah 1
Jika $n=1$ , maka $2^{4+3}+3^{3+1}=209$ [benar habis dibagi 11]

Langkah 2 
Asumsikan benar untuk $n=k$ maka
$2^{4k+3}+3^{3k+1}$ [habis dibagi 11]

Langkah 3
Akan dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ yaitu
$2^{4(k+1)+3}+3^{3(k+1)+1}$ [juga habis dibagi 11]

Perhatikan kesamaan pada langkah 3.
$\begin{align*}2^{4(k+1)+3}+3^{3(k+1)+1}&=2^{4k+7}+3^{3k+4}\\
&=2^{4k+3+4}+3^{3k+1+3}\\
&=16\times 2^{4k+3}+27\times 3^{3k+1}\\
&=16\times 2^{4k+3}+16\times 3^{3k+1}+11\times 3^{3k+1}\\
&=16(2^{4k+3}+3^{3k+1})+11\times 3^{3k+1}
\end{align*}$ 
karena $16(2^{4k+3}+3^{3k+1})$ dan $11\times 3^{3k+1}$ habis dibagi 11 maka Terbukti.


Noted: Soal dan pembahasan induksi matematika ini akan selalu diupdate, jika ada pertanyaan boleh dikolom komentar. Jika menemukan cara kesalahan atau cara yang lebih mudah admin siap menerima dan memperbaiki.
Semoga bermanfaat, jangan lupa dishare ke teman-teman nya ya.


Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Soal dan Pembahasan Induksi Matematika "

artikel menarik untuk anda

loading...