Source: www.pexels.com

Soal dan pembahasan pertidaksamaan nilai mutlak


Sebelumnya admin sudah share soal dan pembahasan persamaan nilai mutlak. Sehingga pada postingan ini admin akan share soal dan pembahasan pertidaksamaan nilai mutlak yang merupakan kelanjutan dari materi sebelumnya.

Soal 1
Nilai-nilai $p$ yang memenuhi $|p|<3$ adalah..
A. $p<-3$
B. $p<3$
C. $0<p<3$
D. $-3<p<0$
E. $-3<p<3$
Penyelesaian:
$\begin{align*}|p|&<3\\
-3&<p<3
\end{align*}$
(jawaban E)

Soal 2
Jika $x \in R$ yang memenuhi $|2x-5|< 1$ adalah..
A. $x<3$
B. $x<2$
C. $2<x<3$
D. $-3<x<-2$
E. $x>2$
Penyelesaian:
dengan menggunakan sifat bilangan mutlak, maka diperoleh
$\begin{align*}
|2x-5|&<1\\
-1<2x-5&<1\\
-1+5<2x&<1+5\\
4<2x&<6\\
2<x&<3
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $2<x<3$
 (jawaban C)

Soal 3
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-1|<2$ adalah..
A. $x\leq -1$
B. $x\leq 3$
C. $x>-1$
D. $-3<x<1$
E. $-1<x<3$
Penyelesaian:
dengan menggunakan sifat bilangan mutlak, maka 
$\begin{align*}
|x-1|&<2\\
-2<x-1&<2\\
-2+1<x&<2+1\\
-1<x&<3
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-1<x<3$
(jawaban E)

Soal 4
Penyelesaian dari pertidaksamaan $|7x-12|-1>8$ adalah..
A. $x<-\frac{3}{7}$ atau $x>3$
B. $x<-3$ atau $x>\frac{3}{7}$
C. $x<\frac{3}{7}$ atau $x>3$
D. $x<\frac{3}{7}$
E. $x>3$
Penyelesaian:
 perhatikan bahwa pertidaksamaan dapat disederhankan menjadi
$\begin{align*}|7x-12|-1 &>8\\
|7x-12|&>9
\end{align*}$
 kemudian dengan menggunakan sifat bilangan mutlak maka diperoleh,
$\begin{align*}
7x-12&<-9\\
7x&<3\\
x&<\frac{3}{7}
\end{align*}$
atau
$\begin{align*}
7x-12&>9\\
7x&>21\\
x&>3
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x<\frac{3}{7}$ atau $x>3$ 
(jawaban C)

Soal 5
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|2-x|>4$  adalah..
A. $\left \{x|-2>x  \right \}$
B. $\left \{x| -2<x<6  \right \}$
C. $\left \{x|x>6  \right \}$
D. $\left \{x|-2>x  \right \}\cap \left \{ x|x>6 \right \}$
E.  $\left \{x|-2<x  \right \} \cap \left \{x|x>6  \right \}$
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat bilangan mutlak maka diperoleh,
$\begin{align*}
2-x&<-4\\
-x&<-6\\
x&>6
\end{align*}$
atau
$\begin{align*}
2-x&>4\\
-x&>2\\
x&<-2
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x<-2$ atau $x>6$ 
(jawaban D)
  
Soal 6
 jika $|2x-3|<1$ dan $2x<3$ , maka
A. $1<x<2$
B. $x<\frac{3}{2}$
C. $1<x<\frac{3}{2}$
D. $x>\frac{3}{2}$
E. $x>2$
Penyelesaian:
penyelesaian dari prtidaksamaan $2x<3$ adalah $x<\frac{3}{2}$.
kemudian jika menggunakan sifat bilangan mutlak, maka pertidaksamaan $|2x-3|<1$ dapat berubah menjadi
$\begin{align*}
|2x-3|&<1\\
-1<2x-3&<1\\
-1+3<2x&<1+3\\
2<2x&<4\\
1<x&<2
\end{align*}$
 karena $x<\frac{3}{2}$ dan $1<x<2$ , maka diperoleh hasil irisan nya adalah $1<x<\frac{3}{2}$ 
(Jawaban C)

Soal 7
Batas-batas nilai $x$ yang memenuhi $|x^{2}-2|\leq 1$ adalah..
A. $-1\leq x \leq 1 $
B. $1 \leq x \leq \sqrt{3}$
C. $-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$
D. $x<-1$ atau $x>1$
E. $-\sqrt{3}\leq x \leq -1$ atau $1\leq x \leq \sqrt{3}$
Penyelesaian:
dengan menggunakan sifat bilangan mutlak, maka diperoleh
$\begin{align*}
|x^{2}-2|&\leq 1\\
-1\leq x^{2}-2&\leq 1\\
-1+2\leq x^{2}& \leq 1+2\\
1\leq x^{2}&\leq 3\\
1\leq x^{2}&\leq 3
\end{align*}$
karena $1\leq x^{2}\leq 3$ , maka akibatnya $x^{2}\geqslant1$ dan $x^{2}\leq 3$.
jika $x^{2}\geqslant 1$, maka
$\begin{align*} x^{2}& \geqslant 1\\
x^{2}-1&\geqslant 0\\
(x+1)(x-1)&\geqslant 0
\end{align*}$
diperoleh solusi $x\leq -1$ atau $x \geqslant 1$

jika $x^{2}\leq 3$ , maka
$\begin{align*} x^{2}&\leq 3\\
x^{2}-3&\leq 0\\
(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})&\leq 0
\end{align*}$
diperoleh solusi $-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}$

kemudian hasil irisan dari kedua solusi di atas adalah $-\sqrt{3}\leq x\leq -1$ atau $1\leq x \leq \sqrt{3}$
(jawaban E)

Soal 8
Himpunan penyelesaian dari $\left|\frac{x+1}{x-2}\right| <1$ adalah
A. $\left \{x| -\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}  \right \}$
B. $\left \{x| -3<x<1  \right \}$
C. $\left \{x| -1<x<\frac{1}{2}  \right \}$
D. $\left \{x| x<\frac{1}{2}  \right \}$
E. $\left \{x| x>\frac{1}{2}  \right \}$
Penyelesaian:
jika $x\neq 2$ , maka $|x+1|<|x-2|$. sehingga dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh
$\begin{align*} |x+1|^{2}&<|x-2|^{2}\\
(x+1)^{2}-(x-2)^{2}&<0\\
(x+1+x-2)(x+1-(x-2))&<0\\
(2x-1)(x+1-x+2)&<0\\
2x-1&<0\\
x&<\frac{1}{2}
\end{align*}$
jadi himpunan penyelesaian nya adalah $\left \{x| x<\frac{1}{2}  \right \}$
(jawaban D)

Soal 9
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-3|^{2}>4|x-3|+12$ adalah..
A. $-2<x<9$
B. $-3<x<9$
C. $x>9$ atau $x<-1$
D. $x>9$ atau $x<-2$
E.  $x>9$ atau $x<-3$
Penyeledaian:
misal $P=|x-3|$ sehingga pertidaksamaan berubah menjadi
$\begin{align*} P^{2}&>4P+12\\
P^{2}-4P-12&>0\\
(P-6)(P+2)&>0
\end{align*}$
diperoleh solusi $-2<P<6$ . artinya $P>-2$ dan $P<6$.
tinjau kasus 1
$\begin{align*}P&>-2\\
|x-3|&>-2
\end{align*}$
karena nilai mutlak selalu positif, maka semua nilai $x \in R$ memenuhi pertidaksamaan.

tinjau kasus 2
$\begin{align*}P&<6\\
|x-3|&<6\\
-6<x-3&<6\\
-6+3<x&<6+3\\
-3<x&<9
\end{align*}$
kemudian hasil irisan dari kedua kasus adalah $-3<x<9$
(jawaban B)

Soal 10
nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|3x+1|<2|x-6|$ adalah
A. $x<-13$ atau $x>\frac{11}{5}$
B. $x <-\frac{11}{5}$ atau $x>13$
C. $-\frac{11}{5}<x<13$
D. $-13<x<13$
E. $-13<x<\frac{11}{5}$
Penyelesaian:
dengan mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan, maka diperoleh
$\begin{align*} |3x+1|&<2|x-6|\\
|3x+1|&<|2x-12|\\
|3x+1|^{2}&<|2x-12|^{2}\\
(3x+1)^{2}-(2x-12)^{2}&<0\\
(3x+1+2x-12)(3x+1-(2x-12))&<0\\
(5x-11)(x+13)&<0
\end{align*}$
sehingga diperoleh $-13<x<\frac{11}{5}$
(jawaban E)

Soal 11
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|3x-4|<8$ adalah..
A. $x<\frac{4}{3}$
B. $-\frac{4}{3}<x<4$
C. $x>\frac{4}{3}$
D. $x\neq0$
E  $x>4$
Penyelesaian:
dengan menggunakan sifat bilangan mutlak, maka diperoleh
$\begin{align*}
|3x-4|&<8\\
-8<3x-4&<8\\
-8+4<3x&<8+4\\
-4<3x&<12\\
-\frac{4}{3}<x&<4
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-\frac{4}{3}<x<4$
 (jawaban B)

Soal 12
Agar pertidaksamaan $|2x-2|\geqslant 10$ benar, maka nilai $x$ haruslah..
A. $x\leq-4$
B. $x\geqslant 6$
C. $x \leq -4$ atau $x\geqslant 6$
D. $-4 \leq x \leq 6$
E. $4 \leq x \leq 6$
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat bilangan mutlak maka diperoleh,
$\begin{align*}
2x-2&\leq -10\\
2x&\leq -8\\
x&\leq -4
\end{align*}$
atau
$\begin{align*}
2x-2&\geqslant 10\\
2x&\geqslant 12\\
x& \geqslant 6
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x\leq -4$ atau $x\geqslant 6$ 
(jawaban C)

Soal 13
interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|3x+2|>5$ adalah..
A. $x<-\frac{1}{3}$ atau $x>0$
B. $x<-\frac{7}{3}$ atau $x>1$
C. $x<-1$ atau $x>1$
D. $x<-\frac{1}{2}$ atau $x>1$
E. $x<-\frac{1}{4}$ atau $x>0$
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat bilangan mutlak maka diperoleh,
$\begin{align*}
3x+2&<-5\\
-x&<-6\\
x&>6
\end{align*}$
atau
$\begin{align*}
2-x&>4\\
-x&>2\\
x&<-2
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x<-2$ atau $x>6$ 
(jawaban D)

Soal 14
Pertidaksamaan $\left|\frac{3}{2x-1}\right|>1$ mempunyai penyelesaian...
A. $x>2$
B. $x<2$ dan $x\neq \frac{1}{2}$
C. $x<-1$ dan $x\neq \frac{1}{2}$
D. $-1<x<2$ dan $x\neq \frac{1}{2}$
E. $x<-1$
Penyelesaian:
jika $x\neq \frac{1}{2}$ , maka pertidaksamaan dapat ditulis $|3|>|2x-1|$ . sehingga dengan menggunakan sifat bilangan mutlak, maka diperoleh
$\begin{align*}
|2x-1|&<|3|\\
|2x-1|&<3\\
-3<2x-1&<3\\
-3+1<2x&<3+1\\
-2<2x&<4\\
-1<x&<2
\end{align*}$
jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-1<x<2$ dan $x\neq \frac{1}{2}$
 (jawaban D)

Soal 15
Semua nilai $x$ yang memenuhi $0<|x-3|\leq 3$ adalah..
A. $0<x<3$ atau $3<x\leq 6$
B. $0\leq x<3$ atau $3<x\leq 6$
C. $0<x\leq 3$ atau $3<x\leq 6$
D. $0\leq x \leq 3$ atau $3<x< 6$
E. $0<x<3$ atau $3<x<6$
Penyelesaian:
karena  $0<|x-3|\leq 3$ , maka $|x-3|>0$ dan $|x-3|\leq 3$.
karena $|x-3|>0$ maka $x<3$ atau $x>3$.
kemudian karena $|x-3|\leq 3$ , maka
$\begin{align*}
|x-3|&\leq 3\\
-3\leq x-3&\leq 3\\
0\leq x&\leq 3+3\\
0\leq x&\leq 6
\end{align*}$
hasil irisan $x<3$ atau $x>3$ dan $0\leq x\leq 6$ adalah $0\leq x<3$ atau $3<x\leq 6$
(jawaban B)

Soal 16
Nilai $x$ yang memenuhi $\left|3+\frac{7}{x}\right|>1$ adalah..
A. $x>\frac{7}{4}$ atau $x<-\frac{7}{4}$
B. $x>\frac{7}{4}$B.
C. $x>-\frac{7}{4}$ , $x\neq 0$
D. $x<-\frac{7}{2}$ atau $x>-\frac{7}{4}$,  $x\neq 0$
E. $x<\frac{7}{4}$ atau $x>\frac{7}{2}$
Penyelesaian:
jika $x \neq 0$ , maka pertidaksamaan dapat kita ubah menjadi
$\begin{align*} \left|3+\frac{7}{x}\right|&>1\\
\left|\frac{3x+7}{x}\right|&>1\\
|3x+7|&>|x|
\end{align*}$
kemudian dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh

$\begin{align*}
|3x+7|&>|x|\\
|3x+7|^{2}&>|x|^{2}\\
(3x+7)^{2}-x^{2}&>0\\
(3x+7+x)(3x+7-x)&>0\\
(4x+7)(2x+7)&>0
\end{align*}$
sehingga diperoleh $x<-\frac{7}{2}$ atau $x>-\frac{7}{4}$ , $x\neq 0$
(jawaban D)

Soal 17
 Nilai $x$ yang memenuhi $\left|\frac{2x+7}{x-1}\right|\geqslant1$ adalah..
A. $ -2\leq x \leq 8$
B. $x\leq -8$ atau $x\geqslant -2$
C. $-8\leq x<1$ atau $x>1$
D. $-2\leq x <1$ atau $1<x\leq 8$
E. $x\leq -8$ atau $-2\leq x<1$ atau $x>1$
Penyelesaian:
jika $x\neq 1$ , maka pertidaksamaan dapat diubah menjadi
$\begin{align*} \left|\frac{2x+7}{x-1}\right|&\geqslant1\\
|2x+7|&\geqslant |x-1|
\end{align*}$
kemudian dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh

$\begin{align*}
|2x+7|&\geqslant |x-1|\\
|2x+7|^{2}&\geqslant |x-1|^{2}\\
(2x+7)^{2}-(x-1)^{2}&\geqslant 0\\
(2x+7+x-1)(2x+7-(x-1))&\geqslant 0\\
(3x+6)(x+8)&\geqslant 0
\end{align*}$
sehingga diperoleh $x\leq -8$ atau $x\geqslant -2$.
karena  $x\neq 1$ , maka $x<1$ atau $x>1$
sehingga hasil irisan dari  $x\leq -8$ atau $x\geqslant -2$ dengan $x<1$ atau $x>1$ adalah $x\leq -8$ atau $-2\leq x<1$ atau $x>1$
(jawaban E)

Soal 18
nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan mutlak $\left|\frac{x-2}{x-1}\right|>1$ adalah..
A. $\frac{1}{2}<x<1\frac{1}{2}$
B. $x>1$
C. $\frac{1}{2}<x<1$ atau $x>1$
D.$1<x<1\frac{1}{2}$ atau $x<1$
E. $-1<x<-\frac{1}{2}$ atau $x>1$
Penyelesaian:
jika $x\neq 1$ , maka pertidaksamaan dapat diubah menjadi
$\begin{align*}\left|\frac{x-2}{x-1}\right|>1\\
|x-2|&> |x-1|\\
\end{align*}$
kemudian dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh

$\begin{align*}
|x-2|&> |x-1|\\
|x-2|^{2}&> |x-1|^{2}\\
(x-2)^{2}-(x-1)^{2}&>0\\
(x-2+x-1)(x-2-(x-1))&> 0\\
(2x-3)(-1)&> 0\\
2x-3&<0\\
x&<1\frac{1}{2}
\end{align*}$
sehingga diperoleh $x<1\frac{1}{2}$.
karena  $x\neq 1$ , maka $x<1$ atau $x>1$
sehingga hasil irisan dari  $x<1\frac{1}{2}$ dengan $x<1$ atau $x>1$ adalah $1<x<1\frac{1}{2}$ atau $x<1$
(jawaban D)

Soal 19
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $|x+3|\leq|2x|$ adalah..
A. $x\leq -1$ atau $x\geqslant 3$
B. $x\leq -1$ atau $x\geqslant 1$
C. $x\leq -3$ atau $x\geqslant -1$
D. $x\leq 1$ atau $x\geqslant 3$
E. $x\leq -3$ atau $x\geqslant 1$
Penyelesaian:
Dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh
 $\begin{align*}
|x+3|&\leq |2x|\\
|x+3|^{2}&\leq |2x|^{2}\\
(x+3)^{2}-(2x)^{2}&\leq 0\\
(x+3+2x)(x+3-2x)&\leq 0\\
(3x+3)(-x+3)&\leq 0
\end{align*}$
sehingga diperoleh $x\leq-1$ atau $x\geqslant 3$
(jawaban A)

Soal 20
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left|\frac{x-2}{x+3}\right|\leq 2$ adalah..
A. $-8\leq x<-3$
B. $-8\leq x<-1$
C. $-4\leq x<-3$
D. $x\leq -8$ atau $x \geqslant -\frac{4}{3}$
E. $x\leq -4$ atau $x \geqslant 3$
Penyelesaian:
jika $x\neq -3$ , maka pertidaksamaan dapat diubah menjadi
$\begin{align*}\left|\frac{x-2}{x+3}\right|\leq 2\\
|x-2|&\leq 2|x+3|\\
\end{align*}$
kemudian dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh

$\begin{align*}
|x-2|&\leq 2|x+3|\\
|x-2|&leq |2x+6|\\
|x-2|^{2}&\leq |2x+6|^{2}\\
(x-2)^{2}-(2x+6)^{2}&\leq 0\\
(x-2+2x+6)(x-2-(2x+6))&\leq 0\\
(3x+4)(x+8)&\geqslant 0
\end{align*}$
sehingga diperoleh $x<-8 atau x>-\frac{4}{3}$.
karena  $x\neq -3$ , maka $x<-3$ atau $x>-3$
sehingga hasil irisan dari  $x<-8$ atau $x>-\frac{4}{3}$ dengan $x<-3$ atau $x>-3$ adalah $x\leq -8$ atau $x \geqslant -\frac{4}{3}$
(jawaban D)

Soal 21
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x|+x \leq 2$ adalah.. 
A. $\left \{x| 0 \leq x \leq 1  \right \}$
B. $\left \{x| x\leq 0  \right \}$
C. $\left \{x| x \geqslant 0  \right \}$
D. $\left \{x| x \leq 1  \right \}$
E. $\left \{x| x \leq 2  \right \}$
Penyelesaian:
jika $x>0$ , maka
$\begin{align*} x+x&\leq 2\\
2x&\leq 2\\
x&\leq 1
\end{align*}
sehingga diperoleh solusi $0<x\leq1$.
 jika $x<0$ , maka $-x+x\leq 2$ atau $0\leq 2$ (benar)
jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah $\left \{x| 0 \leq x \leq 1  \right \}$
(jawaban A)
 
Soal 22
 Pertidaksamaan $|1-2x|>\sqrt{x}$ mempunyai penyelesaian...
A. $0<x<\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2} \leq x <1$
C. $0 \leq x< \frac{1}{4}$ atau $x>1$
D. $x<0$ atau $x>\frac{1}{2}$
E. $0 \leq x <\frac{1}{2}$ atau $x>2$
Penyelesaian:
kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh
$\begin{align*} |1-2x|&>\sqrt{x}\\
 |1-2x|^{2}&>x\\
1-4x+4x^{2}-x&>0\\
4x^{2}-5x+1&>0\\
(4x-1)(x-1)&>0
\end{align*}$
sehingga diperoleh solusinya adalah hasil irisan $x<\frac{1}{4}$ atau $x>1$ dengan $x\geqslant 0$
 yaitu $0 \leq x< \frac{1}{4}$ atau $x>1$
(jawaban C)
 
Soal 23
Nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan $|-x^{2}+2x-2|<2$ adalah..
A. $-\infty<x<2$
B. $0<x<\infty$
C. $-2<x<0$
D. $0<x<2$
E. $ -2<x<2$
Penyelesaian:
perhatikan bahwa pertidaksamaan dapat diubah menjadi $|x^{2}-2x+2|<2$. sehingga dengan menggunakan sifat nilai mutlak maka
$\begin{align*} |x^{2}-2x+2|&<2\\
-2<x^{2}-2x+2&<2
\end{align*}$
karena  -2<x^{2}-2x+2&<2 , maka diperoleh hunbungan $x^{2}-2x+2>-2$ dan $x^{2}-2x+2<2$.
 tinjau kasus 1
$\begin{align*}x^{2}-2x+2&>-2\\
x^{2}-2x+4&>0
\end{align*}$
karena nilai x^{2}-2x+4 memiliki $D<0$ , maka pertidaksamaan tidak memiliki solusi.

tinjau kasus 2
 $\begin{align*}x^{2}-2x+2&<2\\
x^{2}-2x&<0\\
x(x-2)&<0
\end{align*}$
diperoleh solusi pertidaksamaan nya  $0<x<2$
(jawaban D)

Soal 24
Himpunan penyelesaian $\sqrt{x^{2}-2x+1}\geqslant |x+1|$ adalah

A. $\left \{x \in R| x=0  \right \}$
B. $\left \{x \in R| x >  0  \right \}$
C. $\left \{x \in R| x \geqslant 0  \right \}$
D. $\left \{x \in R| x <0  \right \}$
E. $\left \{x \in R| x \leq 0  \right \}$
Penyelesaian:
perhatikan bahwa bentuk pertidaksamaan dapat diubah menjadi $\sqrt{(x-1)^{2}}\geqslant |x+1|$
 atau $|x+1|\leq x-1$.
jika $x>0$ , maka
$x+1\leq x-1$ (benar)

jika $x<0$ , maka
$\begin{align*} -(x+1)&\leq x-1\\
-x-1&\leq x-1\\
-2x&\leq 0\\
x\geqslant 0
\end{align*}$
karena $x<0$ dan $x\geqslant 0$ , maka diperoleh $x=0$
(jawaban A)

soal pdf nya dapat didownload di di sini.


Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Soal dan pembahasan pertidaksamaan nilai mutlak"

artikel menarik untuk anda

loading...