Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat untuk persiapan UN dan SBMPTN
Download File Bab Persamaan kuadrat
Soal 1
Jika salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}-ax+a-19=0$ adalah $-2$ , maka nilai $a$ adalah..
Penyelesaian:
karena $-2$ adalah akar dari persamaan kuadrat, maka $x=-2$ , sehingga
$\begin{align*}
2^{2}-2a+a-19&=0\\
4-a-19&=0\\
-a&=19-4\\
-a&=15\\
a&=-15
\end{align*}$
Soal 2
Persamaan kuadrat $ax^{2}-(a+1)x+3a-8=0$ memiliki akar-akar yang saling berkebalikan, maka tentukan nilai $a$.
Penyelesaian:
misal $x$ adalah akar persamaan kuadrat, maka $\frac{1}{x}$ juga merupakan akar dari persamaan kuadrat. sehingga
$\begin{align*}
x\times \frac{1}{x}&=\frac{3a-8}{a}\\
1&=\frac{3a-8}{a}\\
3a-8&=a\\
2a&=8\\
a&=4
\end{align*}$
Soal 3 (UN 2012)
Persamaan kuadrat $x^{2}+4px+4=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . jika $x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2=32$ , maka nilai $p=$
Penyelesaian:
dengan menggunakan formula "jumlah akar" dan "hasil kali akar" , maka diperoleh:
$x_1+x_2=-4p$
$x_1x_2=4$
perhatikan juga bahwa
$\begin{align*}
x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2&=32\\
x_1x_2(x_1+x_2)&=32\\
4(-4p)&=32\\
-16p&=32\\
p&=-2
\end{align*}$
Soal 4 (UN 2013)
Salah satu nilai $p$ yang menyebabkan persamaan kuadrat $2x^{2}+(p+1)x+8=0$ memiliki akar kembar adalah...
Penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar kembar, maka
$\begin{align*}
D&=0\\
b^{2}-4ac&=0\\
(p+1)^{2}-4\times 2 \times 8&=0\\
(p+1)^{2}-16&=0\\
(p+1)^{2}-4^{2}&=0\\
(p+1+4)(p+1-4)&=0\\
(p+5)(p-3)&=0
\end{align*}$
sehingga diperoleh nilai p adalah $-5$ atau $3$
Soal 5 (UN 2013)
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+(a-1)x+2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. jika $\alpha=2\beta$ dan $a>0$ , maka tentukan nilai $a$.
Penyelesaian:
perhatikan bahwa:
$\alpha+\beta=-(a-1)$ (persamaan 1)
$\alpha\beta=2$ (persamaan 2)
karena $\alpha=2\beta$ , maka persamaan 2 dapat berubah menjadi
$\begin{align*}
\alpha\beta&=2\\
2\beta\times \beta&=2\\
\beta^{2}&=1\\
\beta&=\pm1
\end{align*}$
namun karena $a>0$ , maka haruslah $\beta=-1$. karena $\beta=-1$ , maka $\alpha=-2$ . Sehingga dari persamaan 1 diperoleh
$\begin{align*}
\alpha+\beta&=-(a-1)\\
-2+(-1)&=-(a-1)\\
-3&=-(a-1)\\
a-1&=3\\
a&=4
\end{align*}$
Soal 6 (UN 2014)
jika diketahui Akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+3x-5=0$ adalah $p$ dan $q$. maka tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akar nya $2p+1$ dan $2q+1$.
penyelesaian:
$p+q=\frac{-3}{2}$
$pq=\frac{-5}{2}$
Jumlah akar baru
$\begin{align*}
2p+1+2q+1&=2p+2q+2\\
&=2(p+q)+2\\
&=2(\frac{-3}{2})+2\\
&=-1
\end{align*}$
Hasil Kali akar baru
$\begin{align*}
(2p+1)(2q+1)&=4pq+2p+2q+1\\
&=4pq+2(p+q)+1\\
&=4(\frac{-5}{2})+2(\frac{-3}{2})+1\\
&=-10-3+1\\
&=-12
\end{align*}$
sehingga persamaan kuadrat baru nya adalah
$x^{2}-((2p+1)+(2q+1))x+(2p+1)(2q+1)=0$
$x^{2}+x-12=0$
Soal 7 (UN 2015)
Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat $x^2-2x-15=0$ adalah
Penyelesaian:
$\begin{align*}
x^2-2x-15&=0\\
(x-5)(x+3)=0
\end{align*}$
sehingga akar-akarnya adalah
$x=5$ atau $x=-3$
Soal 8 (UN 2015)
misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-10x+3=0$ . maka tentukan nilai dari $x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2=$.
Penyelesaian:
perhatikan bahwa
$x_1+x_2=10$
$x_1x_2=3$
sehingga
$\begin{align*}
x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2&=x_1x_2(x_1+x_2)\\
&=10\times 3\\
&=30
\end{align*}$
Soal 9 (UN 2015)
persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\frac{2}{7}$ dan $3$ adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}
(x-\frac{2}{7})(x-3)&=0\\
x^{2}-3x-\frac{2}{7}x+\frac{6}{7}&=0\\
7x^{2} -21x-2x+6&=0\\
7x^{2}-23x+6&=0
\end{align*}$
Soal 10 (UN 2016)
salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}+ax+4=0$ tiga lebih besar dari akar yang lainya , maka nilai $a$ yang memenuhi adalah..
Penyelesaian:
misal $p$ adalah akar dari persamaan kuadrat dan akar yang lainya adalah $q$, maka $p=q+3$.
dari jumlah akar dan hasil kali akar diperoleh:
$\begin{align*}
p+q&=-a\\
q+3+q&=-a\\
a&=-(2q+3)\\
\end{align*}$
sehingga
$\begin{align*}
pq&=4\\
(q+3)q=4\\
q^{2}+3q-4&=0\\
(q-1)(q+4)&=0
\end{align*}$
$q=1$ atau $q=-4$
jika $q=1$ , maka $a=-5$
jika $q=-4$ , maka $a=5$
Soal 11 (UN 2017)
Persamaan kuadrat $x^{2}+kx-(2k+4)=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ . jika $\alpha^{2}+ \beta^{2}=53$ , maka tentukan nilai $k$ yang memenuhi.
Penyelesaian:
$\alpha+ \beta=-k$
$\alpha \beta=-(2k+4)$
sehingga
$\begin{align*}
\alpha^{2}+ \beta^{2}&=53\\
(\alpha+ \beta)^{2}-2\alpha\beta&=53\\
(-k)^{2}-2(-(2k+4)&=53\\
k^{2}+4k+8&=53\\
k^{2}+4k-45&=0\\
(k-5)(k+9)&=0
\end{align*}$
diperoleh $k=5$ atau $k=-9$
Soal 12 (UN 2017)
Jika persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ , persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1-1)$ dan $(3x_2-1)$ adalah
Penyelesaian:
$x_1+x_2=\frac{1}{3}$
$x_1x_2=\frac{-4}{3}$
Jumlah akar baru
$\begin{align*}
2x_1-1+2x_2-1&=2x_1+2x_2-2\\
&=2(x_1+x_2)-2\\
&=2(\frac{1}{3})-2\\
&=\frac{-4}{3}
\end{align*}$
Hasil Kali akar baru
$\begin{align*}
(2x_1-1)(2x_2-1)&=4x_1x_2-2x_1-2x_2+1\\
&=4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1\\
&=4(\frac{-4}{3})-2(\frac{1}{3})+1\\
&=-6+1\\
&=-5
\end{align*}$
sehingga persamaan kuadrat baru nya adalah
$x^{2}-((2x_1-1)+(2x_2-1))x+(2x_1-1)(2x_2-1)=0$
$x^{2}+\frac{4}{3}x-5=0$
$3x^{2}+4x-15=0$
Soal 13 (UN 2018)
Batasan nilai $m$ dari persamaan kiadrat $x^{2}+(2m-1)x+m^{2}-3m+5=0$ agar mempunyai akar-akar real adalah
Penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar real, maka $D\geq0$ .
$\begin{align*}
D&\geq0\\
b^{2}-4ac&\geq0\\
(2m-1)^{2}-4(m^2-3m+5)&\geq0\\
4m^{2}-4m+1-4m^2+12m-20&\geq0\\
8m-19&\geq0\\
m&\geq\frac{19}{8}
\end{align*}$
Soal 14 (SBMPTN 2013)
jika selisih akar-akar $x^{2}+2cx+(19+c)=0$ adalah 2 , maka tentukan nilai dari $30+c-c^{2}$.
Penyelesaian:
misal akar-akar persamaan kuadrat adalah $p$ dan $q$ , sehingga
$p+q=-2c$
$pq=19+c$
karena $p-q=2$ , maka
$\begin{align*}
p-q&=2\\
(p-q)^{2}&=4\\
p^{2}+q^{2}-2pq&=4\\
(p+q)^{2}-2pq-2pq&=4\\
(p+q)^{2}-4pq&=4\\
(-2c)^{2}-4(19+c)&=4\\
4c^{2}-4(19+c)&=4\\
c^{2}-(19+c)&=1\\
c^2-c-19&=1\\
c^2-c&=20\\
c-c^{2}&=-20
\end{align*}$
sehingga
$30+c-c^{2}=30+(-20)=10$
Soal 15 (SBMPTN 2014)
jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+x-3=0$ , maka tentukan nilai dari $2a^{2}+b^{2}+a$.
Penyelesaian:
diketahui bahwa
$a+b=-1$
$ab=-3$
karena a adalah akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+x-3=0$ , maka
$a^{2}+a-3=0$
$a^{2}+a=3$
perhatikan juga bahwa
$\begin{align*}
2a^{2}+b^{2}+a&=a^{2}+b^{2}+a^{2}+a\\
&=(a+b)^{2}-2ab+a^{2}+a\\
&=(-1)^{2}-2(-3)+3\\
&=1+6+3\\
&=10
\end{align*}$
Soal 16(SBMPTN 2014)
jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x-3=0$ , maka tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1^2+x_2^2$ dan $2x_1+2x_2$ .
penyelesaian:
$\begin{align*}
x_1+x_2&=1\\
x_1x_2&=-3
\end{align*}$
perhatikan bahwa
$\begin{align*}
2x_1+2x_2&=2(1)\\
&=2
\end{align*}$
dan
$\begin{align*}
x_1^{2}+x_2^{2}&=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\
&=(1)^{2}-2(-3)\\
&=7
\end{align*}$
sehingga persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 7 adalah
$\begin{align*}
(x-2)(x-7)&=0\\
x^{2}-7x-2x+14&=0\\
x^{2}-9x+14&=0
\end{align*}$
Soal 17 (SBMPTN 2015)
jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar $9^{x}-4.3^{x+1}-2.3^{x}+a=0$ . jika $x_1+x_2=2. ^3log 2 +1$ , maka $a=...$
Penyelesain:
persamaan di atas dapat kita manipulasi sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana.
$\begin{align*}
9^{x}-4.3^{x+1}-2.3^{x}+a&=0\\
3^{2x}-4.3.3^{x}-2.3^{x}+a&=0\\
3^{2x}-12.3^{x}-2.3^{x}+a&=0\\
3^{2x}-14.3^{x}+a&=0
\end{align*}$
sehingga kita peroleh persamaan kuadrat $3^{2x}-14.3^{x}+a=0$ dengan akar-akarnya adalah $3^{x_1}$ dan $3^{x_2}$ . kemudian dari hasil kali akar diperoleh:
$\begin{align*}
3^{x_1}\times 3^{x_2}&=a\\
3^{x_1+x_2}&=a
\end{align*}$
kemudian perhatikan juga bahwa
$\begin{align*}
x_1+x_2&=2. ^3log 2 +1\\
x_1+x_2&= ^3log 4 +1\\
x_1+x_2&=^3log 4 +^3log3\\
x_1+x_2&=^3log (4\times 3)\\
x_1+x_2&=^3log 12\\
\end{align*}$
sehingga
$\begin{align*}
3^{x_1+x_2}&=a\\
3^{^3log 12}&=a\\
a&=12
\end{align*}$
0 Response to "Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat untuk persiapan UN dan SBMPTN"
Post a comment