Source: www.pexels.com

Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat untuk persiapan UN dan SBMPTN


Bab Persamaan kuadrat merupakan salah satu bab yang admin sukai saat SMA dulu. kali ini admin akan sharing Soal dan pembahasan persamaan kuadrat. dimulai dari tingkat kesulitan yang sederhana sampai sedang atau sulit. Harapan nya dari pembahasan soal dan pembahasan persamaan kuadrat ini dapat membantu kalian dalam belajar matematika :) .
Download File Bab Persamaan kuadrat
Soal 1
Jika salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}-ax+a-19=0$ adalah $-2$ , maka nilai $a$ adalah..
Penyelesaian:
karena $-2$ adalah akar dari persamaan kuadrat, maka $x=-2$ , sehingga
$\begin{align*}
2^{2}-2a+a-19&=0\\
4-a-19&=0\\
-a&=19-4\\
-a&=15\\
a&=-15
\end{align*}$

Soal 2
Persamaan kuadrat $ax^{2}-(a+1)x+3a-8=0$ memiliki akar-akar yang saling berkebalikan, maka tentukan nilai $a$.
Penyelesaian:
misal $x$ adalah akar persamaan kuadrat, maka $\frac{1}{x}$ juga merupakan akar dari persamaan kuadrat. sehingga
$\begin{align*}
x\times \frac{1}{x}&=\frac{3a-8}{a}\\
1&=\frac{3a-8}{a}\\
3a-8&=a\\
2a&=8\\
a&=4
\end{align*}$

Soal 3 (UN 2012)
Persamaan kuadrat $x^{2}+4px+4=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . jika $x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2=32$ , maka nilai $p=$
Penyelesaian:
dengan menggunakan formula "jumlah akar" dan "hasil kali akar" , maka diperoleh:
$x_1+x_2=-4p$
$x_1x_2=4$
perhatikan juga bahwa
$\begin{align*}
x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2&=32\\
x_1x_2(x_1+x_2)&=32\\
4(-4p)&=32\\
-16p&=32\\
p&=-2
\end{align*}$

Soal 4 (UN 2013)
Salah satu nilai $p$ yang menyebabkan persamaan kuadrat $2x^{2}+(p+1)x+8=0$ memiliki akar kembar adalah...
Penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar kembar, maka
$\begin{align*}
D&=0\\
b^{2}-4ac&=0\\
(p+1)^{2}-4\times 2 \times 8&=0\\
(p+1)^{2}-16&=0\\
(p+1)^{2}-4^{2}&=0\\
(p+1+4)(p+1-4)&=0\\
(p+5)(p-3)&=0
\end{align*}$
sehingga diperoleh nilai p adalah $-5$ atau $3$ 

Soal 5 (UN 2013)
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+(a-1)x+2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. jika $\alpha=2\beta$ dan $a>0$ , maka tentukan nilai $a$.
Penyelesaian:
perhatikan bahwa:
$\alpha+\beta=-(a-1)$ (persamaan 1)
$\alpha\beta=2$  (persamaan 2)

 karena  $\alpha=2\beta$ , maka persamaan 2 dapat berubah menjadi

$\begin{align*}
\alpha\beta&=2\\
2\beta\times \beta&=2\\
\beta^{2}&=1\\
\beta&=\pm1
\end{align*}$

namun karena $a>0$ , maka haruslah $\beta=-1$. karena $\beta=-1$ , maka $\alpha=-2$ . Sehingga dari persamaan 1 diperoleh

$\begin{align*}
\alpha+\beta&=-(a-1)\\
-2+(-1)&=-(a-1)\\
-3&=-(a-1)\\
a-1&=3\\
a&=4
\end{align*}$

Soal 6 (UN 2014)
 jika diketahui Akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+3x-5=0$ adalah $p$ dan $q$. maka tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akar nya $2p+1$ dan $2q+1$.
penyelesaian:
$p+q=\frac{-3}{2}$
$pq=\frac{-5}{2}$

Jumlah akar baru
 $\begin{align*}
2p+1+2q+1&=2p+2q+2\\
&=2(p+q)+2\\
&=2(\frac{-3}{2})+2\\
&=-1
\end{align*}$

Hasil Kali akar baru
$\begin{align*}
(2p+1)(2q+1)&=4pq+2p+2q+1\\
&=4pq+2(p+q)+1\\
&=4(\frac{-5}{2})+2(\frac{-3}{2})+1\\
&=-10-3+1\\
&=-12
\end{align*}$

sehingga persamaan kuadrat baru nya adalah
$x^{2}-((2p+1)+(2q+1))x+(2p+1)(2q+1)=0$
$x^{2}+x-12=0$  

Soal 7 (UN 2015)
Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat $x^2-2x-15=0$ adalah
Penyelesaian:
$\begin{align*}
x^2-2x-15&=0\\
(x-5)(x+3)=0
\end{align*}$
sehingga akar-akarnya adalah
$x=5$ atau $x=-3$

Soal 8 (UN 2015)
misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-10x+3=0$  . maka tentukan nilai dari $x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2=$.
Penyelesaian:
perhatikan bahwa
$x_1+x_2=10$
$x_1x_2=3$
sehingga
$\begin{align*}
x_1x_2^{2}+x_1^{2}x_2&=x_1x_2(x_1+x_2)\\
&=10\times 3\\
&=30
\end{align*}$

Soal 9 (UN 2015)
persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\frac{2}{7}$ dan $3$ adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}
(x-\frac{2}{7})(x-3)&=0\\
x^{2}-3x-\frac{2}{7}x+\frac{6}{7}&=0\\
7x^{2} -21x-2x+6&=0\\
7x^{2}-23x+6&=0
\end{align*}$


Soal 10 (UN 2016)
salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}+ax+4=0$ tiga lebih besar dari akar yang lainya , maka nilai $a$ yang memenuhi adalah..
Penyelesaian:
misal $p$ adalah akar dari persamaan kuadrat dan akar yang lainya adalah $q$, maka $p=q+3$.
dari jumlah akar dan hasil kali akar diperoleh:
$\begin{align*}
p+q&=-a\\
q+3+q&=-a\\
a&=-(2q+3)\\
\end{align*}$
sehingga
$\begin{align*}
pq&=4\\
(q+3)q=4\\
q^{2}+3q-4&=0\\
(q-1)(q+4)&=0
\end{align*}$
$q=1$ atau $q=-4$
jika $q=1$ , maka  $a=-5$
jika $q=-4$ , maka $a=5$

Soal 11 (UN 2017)
Persamaan kuadrat $x^{2}+kx-(2k+4)=0$  mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ . jika $\alpha^{2}+ \beta^{2}=53$ , maka tentukan nilai $k$ yang memenuhi.
Penyelesaian:
$\alpha+ \beta=-k$
$\alpha \beta=-(2k+4)$
 sehingga
$\begin{align*}
\alpha^{2}+ \beta^{2}&=53\\
(\alpha+ \beta)^{2}-2\alpha\beta&=53\\
(-k)^{2}-2(-(2k+4)&=53\\
k^{2}+4k+8&=53\\
k^{2}+4k-45&=0\\
(k-5)(k+9)&=0
\end{align*}$
diperoleh $k=5$ atau $k=-9$

Soal 12 (UN 2017)
Jika persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ , persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1-1)$ dan $(3x_2-1)$ adalah
Penyelesaian:
$x_1+x_2=\frac{1}{3}$
$x_1x_2=\frac{-4}{3}$

Jumlah akar baru
 $\begin{align*}
2x_1-1+2x_2-1&=2x_1+2x_2-2\\
&=2(x_1+x_2)-2\\
&=2(\frac{1}{3})-2\\
&=\frac{-4}{3}
\end{align*}$

Hasil Kali akar baru
$\begin{align*}
(2x_1-1)(2x_2-1)&=4x_1x_2-2x_1-2x_2+1\\
&=4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1\\
&=4(\frac{-4}{3})-2(\frac{1}{3})+1\\
&=-6+1\\
&=-5
\end{align*}$

sehingga persamaan kuadrat baru nya adalah
$x^{2}-((2x_1-1)+(2x_2-1))x+(2x_1-1)(2x_2-1)=0$
$x^{2}+\frac{4}{3}x-5=0$
$3x^{2}+4x-15=0$ 



Soal 13 (UN 2018)
 Batasan nilai $m$ dari persamaan kiadrat $x^{2}+(2m-1)x+m^{2}-3m+5=0$ agar mempunyai akar-akar real adalah
Penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar real, maka $D\geq0$ .
$\begin{align*}
D&\geq0\\
b^{2}-4ac&\geq0\\
(2m-1)^{2}-4(m^2-3m+5)&\geq0\\
4m^{2}-4m+1-4m^2+12m-20&\geq0\\
8m-19&\geq0\\
m&\geq\frac{19}{8}
\end{align*}$

Soal 14 (SBMPTN 2013)
jika selisih akar-akar $x^{2}+2cx+(19+c)=0$ adalah 2 , maka tentukan nilai dari $30+c-c^{2}$.
Penyelesaian:
misal akar-akar persamaan kuadrat adalah $p$ dan $q$ , sehingga
$p+q=-2c$
$pq=19+c$
karena $p-q=2$ , maka
$\begin{align*}
p-q&=2\\
(p-q)^{2}&=4\\
p^{2}+q^{2}-2pq&=4\\
(p+q)^{2}-2pq-2pq&=4\\
(p+q)^{2}-4pq&=4\\
(-2c)^{2}-4(19+c)&=4\\
4c^{2}-4(19+c)&=4\\
c^{2}-(19+c)&=1\\
c^2-c-19&=1\\
c^2-c&=20\\
c-c^{2}&=-20
\end{align*}$
sehingga
$30+c-c^{2}=30+(-20)=10$

Soal 15 (SBMPTN 2014)
jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+x-3=0$ , maka tentukan nilai dari $2a^{2}+b^{2}+a$.
Penyelesaian:
diketahui bahwa
$a+b=-1$
$ab=-3$
karena a adalah akar dari persamaan kuadrat  $x^{2}+x-3=0$ , maka
$a^{2}+a-3=0$
$a^{2}+a=3$
perhatikan juga bahwa
$\begin{align*}
2a^{2}+b^{2}+a&=a^{2}+b^{2}+a^{2}+a\\
&=(a+b)^{2}-2ab+a^{2}+a\\
&=(-1)^{2}-2(-3)+3\\
&=1+6+3\\
&=10
\end{align*}$

Soal 16(SBMPTN 2014)
jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x-3=0$ , maka tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1^2+x_2^2$ dan $2x_1+2x_2$ .
penyelesaian:
$\begin{align*}
x_1+x_2&=1\\
x_1x_2&=-3
\end{align*}$
perhatikan bahwa
$\begin{align*}
2x_1+2x_2&=2(1)\\
&=2
\end{align*}$
dan
$\begin{align*}
x_1^{2}+x_2^{2}&=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\
&=(1)^{2}-2(-3)\\
&=7
\end{align*}$

sehingga persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 7 adalah
$\begin{align*}
(x-2)(x-7)&=0\\
x^{2}-7x-2x+14&=0\\
x^{2}-9x+14&=0
\end{align*}$

Soal 17 (SBMPTN 2015)
 jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar $9^{x}-4.3^{x+1}-2.3^{x}+a=0$ . jika $x_1+x_2=2. ^3log 2 +1$ , maka $a=...$
Penyelesain:
persamaan di atas dapat kita manipulasi sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana.
$\begin{align*}
9^{x}-4.3^{x+1}-2.3^{x}+a&=0\\
3^{2x}-4.3.3^{x}-2.3^{x}+a&=0\\
3^{2x}-12.3^{x}-2.3^{x}+a&=0\\
3^{2x}-14.3^{x}+a&=0
\end{align*}$
 sehingga kita peroleh persamaan kuadrat  $3^{2x}-14.3^{x}+a=0$ dengan akar-akarnya adalah $3^{x_1}$ dan $3^{x_2}$ . kemudian dari hasil kali akar diperoleh:
$\begin{align*}
3^{x_1}\times 3^{x_2}&=a\\
3^{x_1+x_2}&=a
\end{align*}$
 kemudian perhatikan juga bahwa
$\begin{align*}
x_1+x_2&=2. ^3log 2 +1\\
x_1+x_2&= ^3log 4 +1\\
x_1+x_2&=^3log 4 +^3log3\\
x_1+x_2&=^3log (4\times 3)\\
x_1+x_2&=^3log 12\\
\end{align*}$
sehingga
 $\begin{align*}
3^{x_1+x_2}&=a\\
3^{^3log 12}&=a\\
a&=12
\end{align*}$


Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat untuk persiapan UN dan SBMPTN"

artikel menarik untuk anda

loading...