Source: www.pexels.com

Soal dan Pembahasan Barisan dan deret aritmatika dan geometri

Barisan dan dan deret aritmatika adalah salah satu bab yang dipelajari di SMP dan diajarkan lagi lebih dalam di jenjang SMA. pada kesempatan kali ini admin akan share soal dan pembahasan barisan dan deret aritmatika dan geometri, termasuk deret geometri tak hingga. Namun sebelum kita masuk ke soal dan pembahasan maka berikut teori yang harus kita pahami terlebih dahulu. mengapa kita harus faham teori sebelum menjawab soal? ibarat sebuah pertempuran, sebelum bertempur kita harus siapkan diri. Mempersiapkan persenjataan dan deffense, dan skill yang hebat agar memenangkan pertempuran. Nah skill ini didapatkan dari latihan yang panjang dan intensif pastinya.. :) .
A.Barisan dan deret Aritmatika
Barisan aritmatika   
Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki beda setiap suku nya adalah sama.
contoh:
3, 5, 7, 9, ... dan seterusnya, barisan ini memiliki beda yang sama yaitu 2.
1,5,9,13,..... dan seterusnya, barisan ini memiliki beda yang sama yaitu 4.
untuk mendapatkan formula barisan aritmatika, maka perhatikan pola berikut:
$a$ -> menyatakan suku pertama $(U_1)$
$a+b$ -> menyatakan suku ke-dua $(U_2)$
$a+2b$ -> menyatakan suku ke-tiga $(U_3)$
$a+3b$ -> menyatakan suku ke-empat $(U_4)$
....
$a+(n-1)b$ -> menyatakan suku ke-n $(U_n)$
jadi formula dari barisan aritmatika adalah
$$U_n=a+(n-1)b$$
keterangan:
$a$=suku pertama
$b$=beda
$U_n$=suku ke-n

Misalkan $U_t$ adalah suku tengah barisan aritmatika, maka $U_t=\frac{a+U_n}{2}$

Deret Aritmatika ($S_n$)
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku yang ada pada barisan aritmatika. Misalkan $U_1,U_2,U_3,...,U_n$ menyatakan suku-suku pada barisan aritmatika. maka jumlah $n$ suku pertama dari deret aritmatika adalah
$$S_n=U_1+U_2+...+U_n$$
atau
$$S_n=\frac{n}{2} [2a+(n-1)b]$$
 atau
$$S_n=\frac{n}{2}[a+U_n]$$
keterangan:
$S_n$=jumlah n suku pertama
$U_n$=suku ke-n
$a$=suku pertama
$b=U_n-U_{n-1}$

B. Barisan dan deret geometri
Barisan geometri
Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio setiap suku nya adalah sama.
contoh:
2, 6, 18, 54, ... dan seterusnya, barisan ini memiliki rasio yang sama yaitu 3.
1,4,16,64,..... dan seterusnya, barisan ini memiliki rasio yang sama yaitu 4.
untuk mendapatkan formula barisan aritmatika, maka perhatikan pola berikut:
$a$ -> menyatakan suku pertama $(U_1)$
$ar$ -> menyatakan suku ke-dua $(U_2)$
$ar^{2}$ -> menyatakan suku ke-tiga $(U_3)$
$ar^{3}$ -> menyatakan suku ke-empat $(U_4)$
....
$ar^{n-1}$ -> menyatakan suku ke-n $(U_n)$
jadi formula dari barisan geometri adalah
$$U_n=ar^{n-1}$$
keterangan:
$a$=suku pertama
$r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$=rasio
$U_n$=suku ke-n

Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku yang ada pada barisan barisan geometri. Misalkan $U_1,U_2,U_3,...,U_n$ menyatakan suku-suku pada barisan geometri. maka jumlah $n$ suku pertama dari deret geometri adalah
$$S_n=U_1+U_2+...+U_n$$
atau
$$S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} , r>1$$
 atau
$$S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}, r<1$$
keterangan:
$S_n$=jumlah n suku pertama
$U_n$=suku ke-n
$a$=suku pertama
$r$ rasio

Deret Geometri tak hingga
jika deret geometri memiliki $0<|r|<1$ dan banyak suku-suku nya adalah tak hingga. Maka Jumlah deret geometrinya adalah
$$S_\infty=\frac{a}{1-r}$$
keterangan:
$S_\infty$= jumlah n suku perama
$a$=suku pertama
$r$=rasio

Soal dan pembahasan
Soal 1
 jika diketahui barisan aritmatika 12,15,18,... .Tentukan suku ke-21.
Penyelesaian:
$a=12$
$b=3$
$\begin{align*}
U_{21}&=a+20b\\
&=12+20\times 3\\
&=12+60\\
&=72
\end{align*}$

Soal 2
Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan ini adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}b&=\frac{U_{12}-U_5}{12-5}\\
&=\frac{57-22}{7}\\
&=\frac{35}{7}\\
&=5
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ gunakan $U_5$
$\begin{align*}U_5&=22\\
a+4b&=22\\
a+4\times 5&=22\\
a+20&=22\\
a&=2
\end{align*}$
 sehingga suku ke-15 adalah
$\begin{align*}
U_{15}&=a+14b\\
&=2+15\times 5\\
&=2+75\\
&=77
\end{align*}$

Soal 3
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 7 dan 27. Suku ke-20 barisan tersebut adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}b&=\frac{U_8-U_3}{8-3}\\
&=\frac{27-7}{5}\\
&=\frac{20}{5}\\
&=4
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ gunakan $U_3$
$\begin{align*}U_3&=7\\
a+2b&=7\\
a+2\times 4&=7\\
a+8&=7\\
a&=-1
\end{align*}$
 sehingga suku ke-20 adalah
$\begin{align*}
U_{20}&=a+19b\\
&=-1+19\times 4\\
&=-1+76\\
&=75
\end{align*}$

Soal 4
Barisan aritmatika terdiri dari 21 suku. suku tengah barisan tersebut adalah 52, sedangkan $U_3+U_5+U_{15}=106$ . suku ke-7 barisan tersebut adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}U_t&=\frac{a+U_{21}}{2}\\
52&=\frac{a+a+20b}{2}\\
104&=2a+20b\\
2a+20b&=104
\end{align*}$ 
sehingga diperoleh $2a+20b=104$ (persamaan 1)
$\begin{align*}
U_3+U_5+U_{15}&=106\\
a+2b+a+4b+a+14b&=106\\
3a+20b&=106
\end{align*}$
sehingga diperoleh $3a+20b=106$ (persamaan 2)
untuk mencari nilai $a$ dan $b$ , maka eliminasi persamaan 1 dan 2
$\begin{align*}2a+20b&=104\\
3a+20b&=106
\end{align*}$
 ______________-
 $\begin{align*}-a&=-2\\
a&=2
\end{align*}$ kemudian susbtitusi $a=2$ ke persamaan 1
$\begin{align*}2a+20b&=104\\
2\times 2+20b&=104\\
4+20b&=104\\
20b&=100\\
b&=5
\end{align*}$
sehingga
$\begin{align*}U_7&=a+6b\\
&=2+6\times 5\\
&=32
\end{align*}$
Soal 5
 Diketahui barisan aritmatika dengan $u_n$ adalah suku ke-n. jika $U_2+U_{15}+U_{40}=165$ . maka $U_{19}=$
Penyelesaian:
$\begin{align*}U_2+U_{15}+U_{40}=165\\
a+b+a+14b+a+39b&=165\\
3a+54b&=165\\
a+18b&=55\\
U_{19}&=55
\end{align*}$

Soal 6
jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan $S_n=n^2+5n$ . suku ke-20 dari deret aritmatika tersebut adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}S_n&=n^2+5n\\
S1&=1^2+5\times 1\\
a&=6
\end{align*}$
kemudian
$\begin{align*}S_n&=n^{2}+5n\\
S2&=2^2+5\times 2\\
U_1+U_2&=4+10\\
a+a+b&=14\\
6+6+b&=14\\
12+b&=14\\
b&=2
\end{align*}$
 sehingga
$\begin{align*}U_{20}&=a+19b\\
&=6+19\times 2\\
&=6+38\\
&=44
\end{align*}$

Soal 7
 jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan $S_n=2n^2+4n$ . suku ke-9 dari deret aritmatika tersebut adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}S_n&=2n^2+4n\\
S1&=2\times(1)^{2}+4\times 1\\
a&=6
\end{align*}$
kemudian
$\begin{align*}S_n&=2n^2+4n\\
S2&=2\times (2)^{2}+4\times 2\\
U_1+U_2&=8+8\\
a+a+b&=16\\
6+6+b&=16\\
12+b&=16\\
b&=4
\end{align*}$
 sehingga
$\begin{align*}U_9&=a+8b\\
&=6+8\times 4\\
&=6+32\\
&=38
\end{align*}$

Soal 8
jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan $S_n=n^2+3n$ . suku ke-20 dari deret aritmatika tersebut adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}S_n&=n^2+3n\\
S1&=1^2+3\times 1\\
a&=4
\end{align*}$
kemudian
$\begin{align*}S_n&=n^2+3n\\
S2&=2^2+3\times 2\\
U_1+U_2&=4+6\\
a+a+b&=10\\
4+4+b&=10\\
8+b&=10\\
b&=2
\end{align*}$
 sehingga
$\begin{align*}U_{20}&=a+19b\\
&=4+19\times 2\\
&=4+38\\
&=42
\end{align*}$

Soal 9
Diketahui suku pertama suatu deret aritmatika adalah $2$ dan suku ke-10 adalah 38. Jumlah 20 suku pertama adalah..
Penyelesaian:
karena $a=2$ dan $U_{10}=38$ , maka
$\begin{align*}U_{10}&=38\\
a+9b&=38\\
2+9b&=38\\
9b&=36\\
b&=4
\end{align*}$
sehingga
$\begin{align*}S_{20}&=\frac{20}{2}(2\times 2+19\times 4)\\
&=10(4+76)\\
&=800
\end{align*}$

Soal 10
Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 3 dan suku ke-8 adalah 23. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah..
 Penyelesaian:
$\begin{align*}b&=\frac{U_8-U_3}{8-3}\\
&=\frac{23-3}{5}\\
&=\frac{20}{5}\\
&=4
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ gunakan $U_3$
$\begin{align*}U_3&=3\\
a+2b&=3\\
a+2\times 4&=3\\
a+8&=3\\
a&=-5
\end{align*}$
 sehingga jumlah 20 suku pertama adalah
$\begin{align*}
S_{20}&=\frac{20}{2}(2a+19b)\\
&=10(2\times (-5)+19\times 4)\\
&=10(-10+76)\\
&=600
\end{align*}$


Soal 11
Dari suatu deret aritmatika suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. jumlah tiga puluh suku pertama adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}b&=\frac{U_{10}-U_6}{10-6}\\
&=\frac{33-17}{4}\\
&=\frac{16}{4}\\
&=4
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ gunakan $U_6$
$\begin{align*}U_6&=17\\
a+5b&=17\\
a+5\times 4&=17\\
a+20&=17\\
a&=-3
\end{align*}$
 sehingga jumlah 30 suku pertama adalah
$\begin{align*}
S_{30}&=\frac{30}{2}(2a+29b)\\
&=15(2\times (-3)+29\times 4)\\
&=10(-6+116)\\
&=1100
\end{align*}$

Soal 12
Suku ke-5 dan suku ke-12 dari barisan tersebut adalah 42 dan 63. Jumlah dua puluh suku pertama adalah...
Penyelesaian:
$\begin{align*}b&=\frac{U_{12}-U_5}{12-5}\\
&=\frac{63-42}{7}\\
&=\frac{21}{7}\\
&=3
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ gunakan $U_5$
$\begin{align*}U_5&=42\\
a+4b&=42\\
a+4\times 3&=42\\
a+12&=42\\
a&=30
\end{align*}$
 sehingga jumlah 20 suku pertama adalah
$\begin{align*}
S_{20}&=\frac{20}{2}(2a+19b)\\
&=10(2\times (30)+19\times 3)\\
&=10(60+57)\\
&=1170
\end{align*}$

Soal 13
Seorang anak menabung untuk membeli sepeda idolanya. Jika pada bulan pertama menabung Rp. 10.000, bulan kedua Rp. 12.000, bulan ketiga adalah Rp. 14.000 dan seterusnya. setiap bulan mengalami kenaikan Rp.2.000 dari bulan sebelumnya. Pada akhir tahun ke-2 jumlah tabungan anak tersebut adalah..

 Penyelesaian:
$a=10.000$
$b=2.000$
$\begin{align*}
U_{24}&=\frac{24}{2}(2a+23b)\\
&=12(2\times 10.000+23\times 2.000)\\
&=12(20.000+46.000)\\
&=12(66.000)\\
&=792.000
\end{align*}$

Soal 14
 Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}U_3&=36\\
a+2b=36
\end{align*}$ 
sehingga diperoleh $a+2b=36$ (persamaan 1)
kemudian
$\begin{align*}
U_5+U_7&=144\\
a+4b+a+6b&=144\\
2a+10b&=144\\
a+5b&=72
\end{align*}$
sehingga diperoleh $a+5b=72$ (persamaan 2)
untuk mencari nilai $a$ dan $b$ , maka eliminasi persamaan 1 dan 2
$\begin{align*}a+2b&=36\\
a+5b&=72
\end{align*}$
 _____________+
 $\begin{align*}-3b&=-36\\
b&=12
\end{align*}$ kemudian susbtitusi $b=12$ ke persamaan 1
$\begin{align*}a+2b&=36\\
a+2\times 12&=36\\
a+24&=36\\
a&=12
\end{align*}$
sehingga jumlah 10 suku pertama adalah
$\begin{align*}S_{10}&=\frac{10}{2}(2a+9b)\\
&=5(2\times 12+9\times 12)\\
&=5(24+108)\\
&=5(132)\\
&=606
\end{align*}$

Soal 15
Tempat duduk pertunjukan film diatur mulai dari depan  ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depan nya.Bila dalam gedung ada 15 baris dan baris terdepan ada  20 kursi, maka kapasitas gedung tersebut adalah..
 Penyelesaian:
$a=20$
$b=4$
$\begin{align*}
U_{15}&=\frac{15}{2}(2a+14b)\\
&=\frac{15}{2}(2\times 20+14\times 4)\\
&=\frac{15}{2}(40+56)\\
&=\frac{15}{2}(96)\\
&=15\times 48\\
&=720
\end{align*}$
 
Soal 16
Diketahui barisan geometri 10, 20, 40,... . Tentukan suku ke- 7.
Penyelesaian:
$a=10$
$r=2$
$\begin{align*}
U_{7}&=ar^6\\
&=10\times 2^6\\
&=10\times 64\\
&=640
\end{align*}$

Soal 17
Suku ke-4 dan ke-6 barisan geometri berturut-turut adalah 4 dan 36. suku ke-8 barisan tersebut adalah..
Penyelesaian:
untuk mencari suku ke-8, maka terlebih dahulu kita cari $r$ dan $a$.
$\begin{align*}
\frac{U_6}{U_4}&=\frac{36}{4}\\
\frac{ar^5}{ar^3}&=9\\
r^2&=9\\
r&=3
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ , maka gunakan $U_4$.
$\begin{align*}
U_4&=4\\
ar^3&=4\\
a\times 3^3&=4\\
a&=\frac{4}{3^3}
\end{align*}$
sehingga suku ke-8 adalah
$\begin{align*}
U_8&=ar^7\\
&=\frac{4}{3^{3}}3^7\\
&=4\times \frac{3^{7}}{3^{3}}\\
&=4\times 3^4\\
&=4\times 81\\
&=324
\end{align*}$

Soal 18
Suku ketiga dan dan ketujuh suatu barisan geoemetri adalah 6 dan 96. suku ke-5 barisan tersebut adalah..
Penyelesaian:
untuk mencari suku ke-5, maka terlebih dahulu kita cari $r$ dan $a$.
$\begin{align*}
\frac{U_7}{U_3}&=\frac{96}{6}\\
\frac{ar^6}{ar^2}&=16\\
r^4&=16\\
r&=2
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ , maka gunakan $U_3$.
$\begin{align*}
U_3&=6\\
ar^2&=6\\
a\times 2^2&=6\\
a&=\frac{6}{4}\\
a&=\frac{3}{2}
\end{align*}$
sehingga suku ke-5 adalah
$\begin{align*}
U_5&=ar^4\\
&=\frac{3}{2}2^4\\
&=3\times 8\\
&=24
\end{align*}$

Soal 19
Suku pertama barisan geometri adalah 54 dan suku kelima adalah $\frac{2}{3}$. suku ketujuh barisan tersebut adalah..
Penyelesaian:
$a=54$
$\begin{align*}
U_5&=\frac{2}{3}\\
ar^4&=\frac{2}{3}\\
54\times r^4=\frac{2}{3}\\
r^4&=\frac{2}{162}\\
r^4&=\frac{1}{81}\\
r^4&=\left(\frac{1}{3}\right)^4\\
r&=\frac{1}{3}
\end{align*}$
sehingga suku ketujuh adalah
$\begin{align*} U_7&=ar^6\\
&=54\times \left(\frac{1}{3}\right)^6\\
&=\frac{54}{3^6}\\
&=\frac{2}{27}
\end{align*}$

Soal 20
Barisan geometri dengan $U_7=384$ dan rasio $r=2$ . suku ke-10 barisan tersebut adalah..
Penyelesaian:
karena $r=2$ , maka
$\begin{align*}
U_7&=384\\
ar^6&=384\\
a\times 2^6=384\\
a\times 64&=384\\
a&=\frac{384}{64}\\
a&=6
\end{align*}$
sehingga suku ke-10 adalah
$\begin{align*} U_{10}&=ar^9\\
&=6\times 2^9\\
&=6 \times 512\\
&=3072
\end{align*}$

Soal 21
suku kedua deret geometri adalah 10 dan suku ke enam adalah 160. tentukan jumlah 10 suku pertama deret tersebut
Penyelesaian:
untuk mencari jumlah 10 suku pertama, maka terlebih dahulu kita cari $r$ dan $a$.
$\begin{align*}
\frac{U_6}{U_2}&=\frac{160}{10}\\
\frac{ar^5}{ar}&=16\\
r^4&=16\\
r&=2
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ , maka gunakan $U_2$.
$\begin{align*}
U_2&=10\\
ar&=10\\
a\times 2&=10\\
a&=5
\end{align*}$
sehingga jumlah 10 suku pertama adalah
$\begin{align*}
S_{10}&=\frac{a(r^{10}-1)}{r-1}\\
&=\frac{5(2^10-1)}{2-1}\\
&=5\times (1024-1)\\
&=5 \times 1023\\
&=5115
\end{align*}$

Soal 22
 Diketahui suku ke-2 dan ke-5 deret geometri berturut-turut  3 dan 24. jumlah 6 suku pertama adalah..
Penyelesaian:
untuk mencari jumlah 6 suku pertama, maka terlebih dahulu kita cari $r$ dan $a$.
$\begin{align*}
\frac{U_5}{U_2}&=\frac{24}{3}\\
\frac{ar^4}{ar}&=8\\
r^3&=8\\
r&=2
\end{align*}$
untuk mencari nilai $a$ , maka gunakan $U_2$.
$\begin{align*}
U_2&=3\\
ar&=3\\
a\times 2&=3\\
a&=\frac{3}{2}
\end{align*}$
sehingga jumlah 6 suku pertama adalah
$\begin{align*}
S_6&=\frac{a(r^6-1)}{r-1}\\
&=\frac{\frac{3}{2}(2^6-1)}{2-1}\\
&=\frac{3}{2}\times (64-1)\\
&=\frac{3}{2} \times 63\\
&=94.5
\end{align*}$

Soal 23
 Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian menurut deret geometri. jika yang terpendek adalah 10 cm , dan yang terpanjang adalah 160 cm. maka panjang tali semula adalah..
Penyelesaian:
$a=10$
$U_5=160$
 untuk mencari nilai $r$ , maka gunakan $U_5$.
$\begin{align*}
U_5&=160\\
ar^4&=160\\
10\times r^4&=160\\
r^4&=16\\
r&=2
\end{align*}$
sehingga panjang tali semula adalah
$\begin{align*}
S_5&=\frac{a(r^5-1)}{r-1}\\
&=\frac{10(2^5-1)}{2-1}\\
&=10\times (32-1)\\
&=10\times 31\\
&=310
\end{align*}$

soal 24
 Jumlah deret geometri tak hingga $18+6+2+\frac{2}{3}+...$ adalah..
Penyelesaian:
$a=18$
$r=\frac{1}{3}$
$\begin{align*}S_\infty&=\frac{a}{1-r}\\
&=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}\\
&=\frac{18}{\frac{2}{3}}\\
&=18\times \frac{3}{2}\\
&=27
\end{align*}$

Soal 25
Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya mencapai $\frac{5}{8}$ dari lintasan sebelumnya. panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah..
Penyelesaian:
$h_0=90$
$r=\frac{5}{8}$
 sehingga
$\begin{align*}S_\infty&=h_0 \frac{m+n}{m-n}\\
&=90\times \frac{8+5}{8-5}\\
&=90\times \frac{13}{3}\\
&=390
\end{align*}$

Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Soal dan Pembahasan Barisan dan deret aritmatika dan geometri"

artikel menarik untuk anda

loading...