Source: www.pexels.com

Soal dan pembahasan aplikasi turunan untuk persiapan UN dan SBMPTN


Pada kesempatan kali ini admin akan share soal dan pembahasan aplikasi turunan. Secara umum Aplikasi turunan ada tiga yaitu:
A. persamaan garis singgung kurva
B. fungsi naik dan fungsi turun
C. fungsi maksimum dan minimum
Soal dan pembahasan aplikasi turunan ini akan kita bahas satu persatu, dimulai dari soal Ujian Nasional Sampai tingkat SBMPTN atau UTBK.
Download File Bab Aplikasi Turunan
A.Persamaan Garis Singgung Kurva
    persamaan garis singgung kurva bentuk umum nya adalah:
                                             $\boxed{y-y_1=m(x-x_1)}$
dengan $(x_1,y_1)$ adalah titik singgung kurva dan $m$ adalah gradien garis singgung.
x disebut juga dengan absis dari koordinat dan y adalah ordinat.

Menentukan gradien suatu garis
jika diketahui persamaan garis $ax+by+c=0$
maka gradien m nya adalah $m=\frac{-a}{b}$

Hubungan gradien(kemiringan) dua garis. 
misalkan ada dua garis dengan persamaan $l_1: y=m_1x+n_1$ dan $l_2: y=m_2x+n_2$ , maka berlaku:
 a.$m_1=m_2$ jika dan hanya jika garis $l_1$ sejajar dengan $l_2$
 b.$m_1m_2=-1$ jika dan hanya jika garis $l_1$ saling tegak lurus dengan $l_2$

Soal 1
Persamaan garis singgung pada parabola $y=5x^{2}+2x-12$ di titik $(2,12)$ adalah
Penyelesaian:
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=10x+2\\
m&=10\times 2+2\\
m&=22
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=22$ dan titik singgung $(2,12)$ adalah
$\begin{align*}
y-12&=22(x-2)\\
y-12&=22x+44\\
y&=22x+56
\end{align*}$

Soal 2
Persamaan garis singgung kurva di titik $(3,2)$ pada grafik $y=x^{2}-4x+5$ adalah...
Penyelesaian:
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=2x-4\\
m&=2\times 3-4\\
m&=2
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=2$ dan titik singgung $(3,2)$ adalah
$\begin{align*}
y-2&=2(x-3)\\
y-2&=2x-6\\
y&=2x-4
\end{align*}$

Soal 3
Persamaan garis singgung kurva di titik $(1,-1)$ pada kurva $y=x^{2}-\frac{2}{x}$ adalah..
Penyelesaian:
 $\begin{align*}
 y&=x^{2}-2x^{-1}\\
m&=f'(a)\\
m&=2x+2x^{-2}\\
m&=2x+\frac{2}{x^{2}}\\
m&=2\times 1+\frac{2}{1^{2}}\\
m&=4
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=4$ dan titik singgung $(1,-1)$ adalah
$\begin{align*}
y+1&=4(x-1)\\
y+1&=4x-4\\
y&=4x-5
\end{align*}$

Soal 4
Persamaan garis singgung kurva  $y=2x^{2}+x+1$ di titik berabsis 1 adalah adalah...
Penyelesaian:
karena $x=1$ , maka $y=2(1)^{2}+1+1=4$ , sehingga diperoleh titik singgung $(1,4)$
kemudian untuk mencari gradien maka gunakan turunan.
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=4x+1\\
m&=4\times 1+1\\
m&=5
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=5$ dan titik singgung $(1,4)$ adalah
$\begin{align*}
y-4&=5(x-1)\\
y-4&=5x-5\\
y&=5x-1
\end{align*}$

Soal 5
Persamaan garis singgung kurva  $y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$ di titik berabsis 1 adalah adalah...
Penyelesaian:
karena $x=1$ , maka $y=(1)^{2}+2\sqrt{1}-1=2$ , sehingga diperoleh titik singgung $(1,2)$
kemudian untuk mencari gradien maka gunakan turunan.
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=2x+2\times \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\\
m&=2x+\frac{1}{\sqrt{x}}\\
m&=2\times 1+\frac{1}{\sqrt{1}}\\
m&=3
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=3$ dan titik singgung $(1,2)$ adalah
$\begin{align*}
y-2&=3(x-1)\\
y-2&=3x-3\\
y&=3x-1
\end{align*}$

Soal 6 (UN 2016)
Persamaan garis singgung kurva  $y=2x^{2}-3x+5$ pada titik yang ber ordinat 4 adalah...
Penyelesaian:
karena $y=4$ , maka
$\begin{align*}
2x^{2}-3x+5&=4\\
2x^{2}-3x+1&=0\\
(2x-1)(x-1)&=0
\end{align*}$
 $x=\frac{1}{2}$ atau $x=1$
sehingga diperoleh 2 titik singgung yaitu:
$(\frac{1}{2},4)$ dan $(1,4)$
karena ada dua titik singgung, maka akan ada dua persamaan garis singgung.

I. untuk titik  $(\frac{1}{2},4)$
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=4x-3\\
m&=4\times \frac{1}{2}-3\\
m&=-1
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=-1$ dan titik singgung $(\frac{1}{2},4)$ adalah
$\begin{align*}
y-4&=-1(x-\frac{1}{2})\\
y-4&=-x+\frac{1}{2}\\
y&=-x+\frac{9}{2}
\end{align*}$
II. untuk titik  $(1,4)$
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=4x-3\\
m&=4\times 1-3\\
m&=1
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=1$ dan titik singgung $(1,4)$ adalah
$\begin{align*}
y-4&=1(x-1)\\
y-4&=x-1\\
y&=x+3
\end{align*}$

Soal 7 (UN 2017)
Diketahui grafik fungsi $y=2x^{2}-3x+7$ berpotongan dengan garis $y=4x+1$ . maka persamaan garis singgung yang melalui titik potong tersebut adalah..
Penyelesaian:
karena grafik berpotongan dengan garis maka
$\begin{align*} y&=y\\
 2x^{2}-3x+7&=4x+1\\
 2x^{2}-7x+6&=0\\
(2x-3)(x-2)&=0
\end{align*}$
$x=\frac{3}{2}$ atau $x=2$
jika  $x=\frac{3}{2}$ , maka $y=4\times \frac{3}{2}+1=7$
jika $x=2$ , maka $y=4\times 2+1=9$
sehingga diperoleh 2 titik singgung yaitu:
$(\frac{3}{2},7)$ dan $(2,9)$
karena ada dua titik singgung, maka akan ada dua persamaan garis singgung.

I. untuk titik  $(\frac{3}{2},7)$
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=4x-3\\
m&=4\times \frac{3}{2}-3\\
m&=3
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=3$ dan titik singgung $(\frac{3}{2},7)$ adalah
$\begin{align*}
y-7&=3(x-\frac{3}{2})\\
y-7&=3x-\frac{9}{2}\\
y&=3x+\frac{5}{2}
\end{align*}$
II. untuk titik  $(2,9)$
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
m&=4x-3\\
m&=4\times 2-3\\
m&=5
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=5$ dan titik singgung $(2,9)$ adalah
$\begin{align*}
y-9&=5(x-2)\\
y-9&=5x-10\\
y&=5x-1
\end{align*}$

Soal 8 (UN 2019)persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{8x-4}$ yang tegak lurus dengan $2x+4y+1=0$ adalah..
Penyelesaian:
gradien dari garis $2x+4y+1=0$ adalah $m_1=\frac{-2}{4}$ , kemudian karena
garis tersebut tegak lurus dengan garis singgung, maka gradien garis singgung adalah $m_2=2$
gradien $m_2=2$ digunakan untuk mencari titik singgung yaitu gradien=turunan.
$\begin{align*}m&=y'\\
2&=\frac{8}{2\sqrt{8x-4}}\\
2&=\frac{4}{\sqrt{8x-4}}\\
\sqrt{8x-4}&=\frac{2}{4}\\
\sqrt{8x-4}&=\frac{1}{2}\\
(\sqrt{8x-4})^{2}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\
8x-4&=\frac{1}{4}\\
8x&=\frac{17}{4}\\
x&=\frac{17}{32}
\end{align*}$
karena $x=\frac{17}{32}$ , maka
$\begin{align*}
y&=\sqrt{8\times \frac{17}{32}-4}\\
&=\sqrt{\frac{17}{4}-4}\\
&=\sqrt{\frac{1}{4}}\\
y&=\frac{1}{2}
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung dengan gradien $m=2$ dan titik singgung $(\frac{17}{32},\frac{1}{2})$ adalah
$\begin{align*}
y-\frac{1}{2}&=2(x-\frac{17}{32})\\
y-\frac{1}{2}&=2x-\frac{17}{16}\\
 y&=2x-\frac{17}{16}+\frac{1}{2}\\
y&=2x-\frac{17}{16}+\frac{8}{16}\\
y&=2x-\frac{9}{16}
\end{align*}$

Soal 9 (UM UGM 2014)
kurva $y=3x-\frac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu x di titik P. persamaan garis singgung kurva di titik P adalah..
Penyelesaian:
karena memotong sumbu x , maka $y=0$ sehingga
 $\begin{align*}
3x-\frac{3}{x^{2}}&=0\\
3x^{3}-3&=0\\
x^{3}-1&=0\\
x&=1
\end{align*}$
sehingga diperoleh titik singgung $P(1,0)$ , kemudian untuk mencari gradien $m$ , maka
 $\begin{align*}
 y&=3x-3x^{-2}\\
m&=f'(a)\\
m&=3+6x^{-3}\\
m&=3+\frac{6}{x^{3}}\\
m&=3+\frac{6}{1^{3}}\\
m&=9
\end{align*}$
sehingga persamaan garis singgung kurva dengan $m=9$ dan titik singgung $(1,0)$ adalah
$\begin{align*}
y&=9(x-1)\\
y&=9x-9
\end{align*}$

Soal 10  (SBMPTN 2014)
Garis $l$ mempunyai gradien 2. jika l menyinggung grafik $f(x)=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ , maka persamaan $l$ adalah
Penyelesaian:
karena gradien $m=2$ dan $x=1$ , maka
$\begin{align*}
m&=f'(1)\\
2&=-2x+p\\
2&=-2+p\\
p&=4
\end{align*}$
sehingga $f(x)=-x^{2}+4x+1$ , kemudian karena $x=1$ , maka $y=-1^{2}+4\times 1+1=4$
persamaan garis singgung dengan gradien $m=2$ dan titik singgung $(1,4)$ adalah
$\begin{align*}
y-4&=2(x-1)\\
y&=2x-2\\
y&=2x+2
\end{align*}$

Soal 11 (SBMPTN 2015)
jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ , maka garis $g$ memotong sumbu $y$ di titik...   
Penyelesaian:
karena garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ ,maka gradien garis $g$ adalah $m=2$.
kemudian untuk mencari titik singgung maka gradien=turunan.
$\begin{align*}
m&=f'(a)\\
2&=2x+4\\
2x&=-2\\
x&=-1
\end{align*}$
 karena $x=-1$ , maka $y=(-1)^{2}+4\times (-1)+5=2$
sehingga persamaan garis singgung dengan gradien $m=2$ dan titik singgung $(-1,2)$ adalah
$\begin{align*}
y-2&=2(x+1)\\
y-2&=2x+2\\
y&=2x+4
\end{align*}$

B. Fungsi Naik atau Fungsi Turun kurva
   syarat suatu fungsi naik atau turun pada interval adalah sebagai berikut:

     $f'(x)>0$ jika dan hanya jika f(x) naik.
     $f'(x)<0$ jika dan hanya jika f(x) turun 

Soal 1
fungsi $f(x)=x^{3}-3x^{2}-15$ turun untuk semua $x$ yang memenuhi..
Penyelesaian:
$\begin{align*}
f'(x)&<0\\
3x^{2}-6x&<0\\
x^{2}-2x&<0\\
x(x-2)&<0
\end{align*}$
sehingga diperoleh titik pembuat nol nya adalah
$x=0$ atau $x=2$
dengan menggunakan garis bilangan






sehingga penyelesaianya adalah $0<x<2$

Soal 2
grafik dari $f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-x^{2}-12x+10$ naik pada interval...
Penyelesaian:
$\begin{align*}
f'(x)&>0\\
2x^{2}-2x-12&>0\\
x^{2}-x-6&>0\\
(x-3)(x+2)&>0
\end{align*}$
sehingga diperoleh titik pembuat nol nya adalah
$x=3$ atau $x=-2$
dengan menggunakan garis bilangan





sehingga penyelesaianya adalah $x<-2$ atau $x>3$

Soal 3
Interval dimana fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12$ turun adalah..
fungsi $f(x)=x^{3}-3x^{2}-15$ turun untuk semua $x$ yang memenuhi..
Penyelesaian:
$\begin{align*}
f'(x)&<0\\
6x^{2}-18x&<0\\
x^{2}-3x&<0\\
x(x-3)&<0
\end{align*}$
sehingga diperoleh titik pembuat nol nya adalah
$x=0$ atau $x=3$
dengan menggunakan garis bilangan






sehingga penyelesaianya adalah $0<x<3$ 

Soal 4
fungsi $f(x)=(x-2)(x^{2}-4x+1)$ naik pada interval...
Penyelesaian:
perhatikan bahwa
$\begin{align*}
f(x)&=(x-2)(x^{2}-4x+1)\\
f (x)&=x^{3}-6x^{2}+9x-2
\end{align*}$

$\begin{align*}
f'(x)&>0\\
3x^{2}-12x+9&>0\\
x^{2}-4x+3&>0\\
(x-3)(x-1)&>0
\end{align*}$
sehingga diperoleh titik pembuat nol nya adalah
$x=3$ atau $x=1$
dengan menggunakan garis bilangan

sehingga penyelesaianya adalah $x<1$ atau $x>3$

C. Fungsi maksimum dan Fungsi minimum
   suatu fungsi $f(x)$ dikatakan maksimum atau minimum jika dan hanya jika $f'(x)=0$

 Soal 1 (UN 2013)
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)m$ dan lebar $(8-x)m$. Agar Luas taman maksimum, maka  panjang taman tersebut adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}
K&=2(p+l)\\
 2x+24&=2(p+8-x)\\
x+12&=p+8-x\\
p&=x+12+x-8\\
 p&=2x+4
\end{align*}$
kemudian luas dari persegi panjang adalah
$\begin{align*}
L&=p\times l\\
L&=(2x+4)(8-x)\\
L&=16x-2x^{2}+32-4x\\
L&=-2x^{2}+12x+32
\end{align*}$
agar Luas maksimum, maka
$\begin{align*}
L'&=0\\
-4x+12&=0\\
-4x&=-12\\
x&=3
\end{align*}$
sehingga panjang taman adalah
$\begin{align*}p&=2x+4\\
p&=2\times 3+4\\
p&=10
\end{align*}$

Soal 2 (UN 2013)
Dua bilangan $m$ dan $n$ memenuhi hubungan $2m-n=40$. Nilai minimum dari $p=m^{2}+n^{2}$ adalah..
Penyelesaian:
$\begin{align*}
2m-n&=40\\
n&=2m-40\\
\end{align*}$
sehingga
$\begin{align*}
p&=m^{2}+(2m-40)^{2}\\
&=m^{2}+4m^{2}-160m+1600\\
&=5m^{2}-160m+1600
\end{align*}$
kemdudian agar maksimum, maka
$\begin{align*}
p'&=0\\
10m-160&=0\\
m&=16
\end{align*}$
karena $m=16$ , maka $n=2\times 16-40=-8$
sehingga nilai minimum dari
$\begin{align*}p&=16^{2}+(-8)^{2}\\
&=256+64\\
&=320
\end{align*}$

Soal 3 (UN 2015)
Icha akan meniup bola karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 $cm^{2}/detik$ . jika laju pertambahan jari-jari bola setelah ditiup adalah $20cm/detik$. jari-jari bola setelah ditiup adalah..
Penyelesaian:
$\frac{dv}{dt}=40$
$\frac{dr}{dt}=20$
volume bola adalah
$\begin{align*}
v&=\frac{4}{3}\pi \times r^{3}\\
\frac{dv}{dr}&=\frac{4}{3} \times 3 \pi \times r^{2}\\
\frac{dv}{dr}&=4\times \pi \times r^{2}\\
\end{align*}$
kemudian perhatikan bahwa
$\begin{align*}
\frac{dv}{dt}&=40\\
\frac{dv}{dr}\times \frac{dr}{dt}&=40\\
 4\times \pi \times r^{2} \times 20&=40\\
\pi \times r^{2}&=\frac{1}{2}\\
 r^{2}&=\frac{1}{2\pi}\\
r&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{align*}$

Soal 4 (UN 2017) 
Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan dapat memuat air sebanyak 27$\pi cm^{2}$. luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan...
 Penyelesaian:
 $\begin{align*}
V&=27\pi cm^{2}\\
 \pi \times r^{2} \times t&=27 \pi\\
t&=\frac{27}{r^{2}}
\end{align*}$
Luas permukaan tabung tanpa tutup adalah
$\begin{align*}
L&=\pi \times r^{2}+2 \pi \times r \times t\\
&=\pi \times r^{2}+2 \pi \times r \times \frac{27}{r^{2}}\\
&= \pi \times r^{2}+2 \pi \times \frac{27}{r}\\
&= \pi \times r^{2}+54 \pi \times r^{-1}
\end{align*}$
agar luas maksimum, maka
$\begin{align*} &L'=0\\
 2\pi \times r-54 \pi \times r^{-2}&=0\\
2\pi \times r-\frac{54\pi}{r^{2}}&=0\\
r-\frac{27}{r^{2}}&=0\\
r^{3}-27&=0\\
r^{3}&=27\\
r&=3
\end{align*}$

Soal 5 (UN 2019)
Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti pada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah..

 Penyelesaian:
 karena panjang rusuknya adalah $30 cm$ , maka panjang rusuk alas prisma tanpa tutup adalah $30-2x$ dan tinggi nya adalah $x$ .
kemudian volume dari kotak tersebut adalah
$\begin{align*}
V&=L_a \times t\\
   &=(30-2x)^{2} \times x\\
   &=(900-120x+4x^{2})x\\
   &=900x-120x^{2}+4x^{3}
\end{align*}$
kemudian volume maksimum, maka
$\begin{align*}V'&=0\\
900-240x+12x^{2}&=0\\
75-20x+x^{2}&=0\\
x^2-20x+75&=0\\
(x-5)(x-15)&=0
\end{align*}$
diperoleh $x=5$ atau $x=15$

jika $x=15$ , maka
$\begin{align*}
V&=(30-30)^{2} \times 15\\
&=0
\end{align*}$

jika $x=5$ , maka
$\begin{align*}
V&=(30-10)^{2} \times5\\
&=400 \times 5\\
&=2000
\end{align*}$

jadi, volume maksimum dari kotak tersebut adalah pada saat $x=5$ yaitu $V=2000 cm^{2}$
 
 

Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Soal dan pembahasan aplikasi turunan untuk persiapan UN dan SBMPTN"

artikel menarik untuk anda

loading...