Source: www.pexels.com

Lengkap Soal dan Pembahasan Lingkaran persiapan UN dan UTBK


Bab Lingkaran dipelajari di kelas 11 SMA. Materi lingkaran hanya diajarkan pada jurusan IPA. Kali ini admin akan share Soal dan pembahasan bab lingkaran. Berikut tipe soal yang paling sering keluar dan bab lingkaran:
1. Diketahui pusat dan jari-jari lingkaran, tentukan persamaan lingkaran.
2. Diketahui persamaan lingkaran, tentukan pusat dan jari-jari.
3. Posisi Titik terhadap lingkaran (di luar lingkaran, pada lingkaran, dan dalam lingkaran)
4. menentukan persamaan garis singgung jika diketahui titik singgung pada lingkaran.
5. menentukan persamaan garis singgung jika diketahui gadien garis singgung.

Namun sebelum ke soal dan pembahasan berikut teori lingkaran yang perlu diketahui :
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Pusat $(0,0)$ dan berjari-jari $r$
$\boxed{x^{2}+y^{2}=r^{2}}$
Pusat $(a,b)$ dan berjari-jari $r$
$\boxed{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$
 atau
$\boxed{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}$
 dengan
pusat $(a,b)=(\frac{A}{-2},\frac{B}{-2})$
 dan
$\boxed{r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}$

Menentukan jari-jari lingkaran yang berpusat di $(a,b)$
a. jika lingkaran menyinggung sumbu x, maka $r=|b|$
b. jika lingkaran menyinggung sumbu y, maka $r=|a|$
c. jika lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y, maka $r=|a|=|b|$
d. jika lingkaran menyinggung garis $px+qy+r=0$ , maka $r=\left|\frac{p.a+q.b+r}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\right|$

Hubungan lingkaran dengan titik
Hubungan titik $(x_1,y_1)$ dengan lingkaran berpusat di $P(a,b)$
a. Titik  $A(x_1,y_1)$ berada pada lingkaran $(x_1-a)^{2}+(y_1-b)^{2}=r^{2}$
b. Titik  $A(x_1,y_1)$ berada di dalam lingkaran $(x_1-a)^{2}+(y_1-b)^{2}<r^{2}$
c. Titik  $A(x_1,y_1)$ berada di luar lingkaran $(x_1-a)^{2}+(y_1-b)^{2}>r^{2}$

Persamaan garis singgung lingkaran
a. persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$di titik $(x_1,y_1)$ adalah
   $\boxed{xx_1+yy_1=r^{2}}$
b.persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$di titik $(x_1,y_1)$ adalah
   $\boxed{(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^{2}}$
c.persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $(x_1,y_1)$ adalah
  $\boxed{xx_1+yy_1+A\frac{(x+x_1)}{2}+B\frac{(y+y_1)}{2}+C=0}$
d. persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dengan gradien $m$ adalah
   $\boxed{y=mx \pm r\sqrt{m^{2}+1}}$
e.persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ dengan gradien $m$
  $\boxed{y-b=m(x-a) \pm r \sqrt{m^{2}+1}}$  

jarak antara titik $A(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ yaitu
$\boxed{d=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}}$
 
Soal dan pembahasan
Soal 1
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan jari-jari $r=5$.
Penyelesaian:
$x^{2}+y^{2}=25$

Soal 2
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan jar-jari $r=\sqrt{8}$.
Penyelesaian:
$x^{2}+y^{2}=8$ 

Soal 3
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $(2,3)$ dan jari-jari $r=4$.
Penyelesaian:
$\begin{align*}
(x-2)^{2}+(y-3)^{2}&=16\\
x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-16&=0\\
x^{2}+y^{2}-4x-6y-3&=0
\end{align*}$

Soal 4
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $(-3,5)$ dan jar-jari  $r=9$.
Penyelesaian:
$\begin{align*}
(x+3)^{2}+(y-5)^{2}&=81\\
x^{2}+6x+9+y^{2}-10y+25-81&=0\\
x^{2}+y^{2}+6x-10y-47&=0
\end{align*}$

Soal 5
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $(2,3)$ dan melalui titik $(5,-1)$ .
 Penyelesaian:
karena pusat lingkaran $(2,3)$, maka persamaan lingkaran nya adalah
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$
kemudian untuk mencari $r^{2}$, maka masukan titik $(5,-1)$ ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
$\begin{align*}
(x-2)^{2}+(y-3)^{2}&=r^{2}\\
(5-2)^{2}+(-1-3)^{2}&=r^{2}\\
3^{2}+(-4)^{2}&=r^{2}\\
r^{2}&=9+16\\
r^{2}=25
\end{align*}$
sehingga persamaan lingkaran nya adalah
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$

Soal 6
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $(-2,3)$ dan memotong sumbu $x$ di titik $(2,0)$ .
Penyelesaian:
karena pusat lingkaran $(-2,3)$, maka persamaan lingkaran nya adalah
$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$
kemudian untuk mencari $r^{2}$, maka masukan titik $(2,0)$ ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
$\begin{align*}
(x+2)^{2}+(y-3)^{2}&=r^{2}\\
(2+2)^{2}+(0-3)^{2}&=r^{2}\\
4^{2}+(-3)^{2}&=r^{2}\\
r^{2}&=16+9\\
r^{2}=25
\end{align*}$
sehingga persamaan lingkaran nya adalah
$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=25$

Soal 7
Persamaan lingkaran dengan pusat (3,-2) dan menyinggug sumbu $y$ .
 Penyelesaian:
karena lingkaran menyinggung sumbu $y$ , maka $r=|3|=3$
sehingga persamaan lingkaran nya adalah
$\begin{align*}
(x-3)^{2}+(y+2)^{2}&=9\\
x^{2}-6x+9+y^{2}+4y+4-9&=0\\
x^{2}+y^{2}-6x+4y+4&=0
\end{align*}$

Soal 8
Persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungkan titik $(1,5)$ dan $(9,1)$ .
Penyelesaian:
pusat lingkaran merupakan titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan titik $(1,5)$ dan $(9,1)$ yaitu $(\frac{1+9}{2},\frac{5+1}{2})=(5,3)$ . kemudian jari-jari merupakan  setengah dari diameter. kemdian panjang diameter dapat dicari dengan menggunakan jarak antara dua titik yaitu:
$\begin{align*}
D&=\sqrt{(1-9)^{2}+(5-1)^{2}}\\
&=\sqrt{(-8)^{2}+(4)^{2}}\\
&=\sqrt{64+16}\\
&=\sqrt{80}\\
&=4\sqrt{5}
\end{align*}$
karena diameternya $D=4\sqrt{5}$ , maka
$r=2\sqrt{5}$
$r^{2}=4\times 5=20$
Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat $(5,3)$ dan $r^{2}=20$ adalah
$(x-5)^{2}+(y-3)^{2}=20$

Soal 9
Persamaan lingkaran yang berpusat pada $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x-4y-2=0$ adalah..
Penyelesaian:
karena lingkaran menyinggung garis $3x-4y-2=0$ , maka jari-jari lingkaran nya adalah
$\begin{align*}
r&=\left|\frac{3.1+(-4).4+(-2)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\right|\\
&=\left|\frac{3-16-2)}{\sqrt{9+16}}\right|\\
&=\left|\frac{-15}{\sqrt{25}}\right|\\
&=\left|\frac{-15}{5}\right|\\
&=|-3|\\
&=3
\end{align*}$
sehingga persamaan lingkaran dengan pusat $(1,4)$ dan jari-jari $r=3$ adalah
$(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=9$

Soal 10
Tentukan pusat lingkaran jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y+13=0$ .
Penyelesaian:
$\begin{align*}
(a,b)&=(\frac{A}{-2},\frac{B}{-2})\\
&=(\frac{4}{-2},\frac{-6}{-2})\\
&=(-2,3)
\end{align*}$

Soal 11
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan lingkaran $4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1=0$ 
Penyelesaian:
bagi persamaan lingkaran  $4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1=0$ , sehingga diperoleh
$x^{2}+y^{2}+x-3y+\frac{1}{4}=0$

pusat $(a,b)=(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
 dan
$\begin{align*}r&=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}}\\
&=\sqrt{\frac{9}{4}}\\
&=\frac{3}{2}
\end{align*}$

Soal 12
Jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+2y+c=0$ melalui titik $(5,-1)$ adalah..
Penyelesaian:
untuk mendapatkan nilai $c$ maka substitusi titik $(5,-1)$ ke persamaan lingkaran, yaitu
 $\begin{align*}5^{2}+(-1)^{2}-4.(5)+2.(-1)+c&=0\\
25+1-20-2+c&=0\\
4+c&=0\\
c&=-4
\end{align*}$
sehingga
$\begin{align*}r&=\sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+4}\\
&=\sqrt{9}\\
&=3
\end{align*}$

Soal 13
Agar Lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+6y+m=0$ memiliki jar-jari $5$ , maka tentukan nilai $m$.
Penyelesaian:
$\begin{align*}
r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\
5&=\sqrt{4+9-m}\\
5&=\sqrt{13-m}\\
25&=13-m\\
m&=13-25\\
m&=-12
\end{align*}$

Soal 14
Tentukan posisi titik $(2,1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2=25$ .
Penyelesaian:
$\begin{align*}
x^2+y^2&=25\\
2^{2}+1^{1}<25\\
5<25
\end{align*}$ 
 sehingga titik berada di dalam lingkaran.

Soal 15
Nilai a yang membuat titik $P(-4,a)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$ adalah
Penyelesaian:
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}&=16\\
(-4)^{2}+a^{2}&=16\\
16+a^{2}&=16\\
a&=0
\end{align*}$

Soal 16
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$ pada titik $(3,4)$ adalah
Penyelesaian:
$\begin{align*}
xx_1+yy_1&=25\\
3x+4y&=25
\end{align*}$
 
Soal 17
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+2y-15=0$ pada titik $(7,2)$ adalah
Penyelesaian:
$\begin{align*}xx_1+yy_1+A\frac{(x+x_1)}{2}+B\frac{(y+y_1)}{2}+C&=0\\
7x+2y-6\frac{(x+7)}{2}+2\frac{(y+2)}{2}-15&=0\\
7x+2y-3(x+7)+y+2-15&=0\\
7x+2y-3x-21+y+2-15&=0\\
4x+3y-34&=0
\end{align*}$

Soal 18
Persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=26$ bergradien 5 adalah..
Penyelesaian:
jari-jari dari persamaan lingkaran di atas adalah $r=\sqrt{26}$ . persamaan garis singgung dengan pusat $(-2,4)$ , jari-jari $r=\sqrt{26}$ dan gradien $m=5$ adalah
$\begin{align*}y-b&=m(x-a) \pm r \sqrt{m^{2}+1}\\
y-4&=5(x+2) \pm \sqrt{26} \sqrt{5^{2}+1}\\
y-4&=5x+10 \pm \sqrt{26} \sqrt{26}\\
y-4&=5x+10 \pm 26\\
y&=5x+14 \pm 26
 \end{align*}$
jadi persamaan garis singgung nya adalah  $y=5x+14 \pm 26$

Soal 19
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$ yang sejajar garis $2y=x+2$ adalah..
Penyelesaian:
gradien dari garis $2y=x+2$ adalah $\frac{1}{2}$ , karena garis singgung sejajar dengan garis tersebut, maka gradien garis singgung, maka $m=\frac{1}{2}$. kemudian 
jari-jari dari persamaan lingkaran di atas adalah $r=5$ . persamaan garis singgung dengan pusat $(0,0)$ , jari-jari $r=5$ dan gradien $m=\frac{1}{2}$ adalah
$\begin{align*}y&=mx \pm r \sqrt{m^{2}+1}\\
y&=\frac{1}{2}x \pm 5 \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+1}\\
y&=\frac{1}{2}x \pm 5 \sqrt{\frac{1}{4}+1}\\
y&=\frac{1}{2}x \pm 5 \sqrt{\frac{5}{4}}\\
y&=\frac{1}{2}x \pm \frac{5}{2} \sqrt{5}
\end{align*}$
jadi persamaan garis singgung nya adalah  $y=\frac{1}{2}x \pm \frac{5}{2} \sqrt{5}$

Soal 20
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ yang tegak lurus garis $5x-12y+15=0$ adalah..
Penyelesaian:
gradien dari garis $5x-12y+15=0$ adalah $\frac{5}{12}$ , karena garis singgung tegak lurus dengan garis tersebut, maka gradien garis singgung, maka $m=-\frac{12}{5}$. kemudian 
jari-jari dari persamaan lingkaran di atas adalah
$\begin{align*}r&=\sqrt{1+4+4}\\
&=3
\end{align*}$
sehingga diperoleh $r=3$ . persamaan garis singgung dengan pusat $(1,-2)$ , jari-jari $r=3$ dan gradien $m=-\frac{12}{5}$ adalah
$\begin{align*}y&=mx \pm r \sqrt{m^{2}+1}\\
y+2&=3(x-1) \pm 3 \sqrt{\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}+1}\\
y+2&=3x-3 \pm 3\sqrt{\frac{144}{25}+1}\\
y+2&=3x-3 \pm 3\sqrt{\frac{169}{25}}\\
y+2&=3x-3 \pm \frac{39}{5}\\
y&=3x-5 \pm \frac{39}{5}
\end{align*}$
jadi persamaan garis singgung nya adalah  $y=3x-5 \pm \frac{39}{5}$




Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Lengkap Soal dan Pembahasan Lingkaran persiapan UN dan UTBK "

artikel menarik untuk anda

loading...