Source: www.pexels.com

Lengkap materi dan contoh soal Matriks

matriks merupakan bab yang soalnya sangat sering keluar pada ujian nasional matematika ipa dan matematika ips dan sbmptn maupun ujian mandiri seleksi universitas. bab matriks termasuk bab yang relatif mudah dipahami. pada blog ini akan dibahas secara lengkap matriks yaitu: Defenisi Matriks, Kesamaan dua matriks, jenis-jenis matriks, transpose suatu matriks, Operasi matriks (penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks), Determinan Matriks, Invers Matriks dan persamaan matriks.

Download File Bab Matriks (materi dan contoh soal)

A. Defenisi Matriks
     Matriks merupakan susunan angka-angka yang terdiri atas baris dan kolom dan dibatasi oleh dua kurung biasa atau kurung siku-siku. Matriks dinotasikan dengan satu huruf kapital, ukuran matriks baris dan kolom matriks disebut dengan Ordo. Misal matriks berukuran 2x3, ini artinya matriks ber ordo 2x3 (terdiri dari dua baris dan tiga kolom).
Contoh:
$A_{4x3}=\begin{bmatrix}2&  3& 5 \\ 6&  7& 9\\2& 1& 4\\9& 2& 1 \end{bmatrix}$
 nah dari contoh di atas diperoleh informasi
$\begin{bmatrix}2& 3& 5 \end{bmatrix}$ -> baris pertama
$\begin{bmatrix}6& 7& 9 \end{bmatrix}$ -> baris kedua
$\begin{bmatrix}2& 1& 4 \end{bmatrix}$ -> baris ketiga
$\begin{bmatrix}9& 2& 1 \end{bmatrix}$ -> baris ke empat
dan
$\begin{bmatrix} 2\\6\\2\\9 \end{bmatrix}$ -> kolom pertama
$\begin{bmatrix} 3\\7\\1\\2 \end{bmatrix}$ -> kolom kedua
$\begin{bmatrix} 5\\9\\4\\1 \end{bmatrix}$ -> kolom ketiga

sehingga matriks A di atas berordo 4x3 yaitu matriks yang terdiri 4 baris dan 3 kolom.

B. Kesamaan dua matriks
     dua matriks dapat dikatakan sama jika dan hanya jika semua anggota/elemen matriks yang seletak sama. Misal diketahui matriks $A_{2x2}=\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}$ dan matriks  $B_{2x2}=\begin{bmatrix} e&f\\g&h \end{bmatrix}$ . Matriks $A=B$ jika dan hanya jika $a=e , b=f , c=g , d=h$.

Contoh: Diketahui $A_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&5\\x+1&9 \end{bmatrix}$ dan matriks  $B_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&(2y-7)\\6&9 \end{bmatrix}$. jika $A=B$ , maka tentukan nilai x dan y.
penyelesaian:
karena matriks $A=B$ , maka
$ \begin{align*}
x+1&=6\\
x&=5\\
&\\
2y-7&=5\\
2y&=12\\
y&=6
\end{align*}$

C. Matriks-matriks khusus
Ada beebrapa macam jenis matriks yang perlu kalian ketahui yaitu:
1. Matriks Baris
    Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris. Contohnya:
$P=\begin{bmatrix}2& 1& 5 \end{bmatrix}$
$Q=\begin{bmatrix}6& 2& 7 \end{bmatrix}$

2.  Matriks Kolom
   Matriks kolom adalah matriks yang terdiri hanya satu kolom. contohnya:
$A=\begin{bmatrix} 2\\6\\-1 \end{bmatrix}$
$B=\begin{bmatrix} 3\\7\\1 \end{bmatrix}$
3. Matriks Persegi
   Matriks Persegi adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolom sama. contohnya:
$A_{2x2}=\begin{bmatrix}2&  3 \\ 6&  7\end{bmatrix}$
$B_{3x3}=\begin{bmatrix}2&  1& 4 \\ 6&  7& 9\\2& 7& -4 \end{bmatrix}$

4. Matriks Diagonal
   Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah $0$ . Sedangkan elemen pada diagonal utama tidak semuanya nol. contohnya
$A_{2x2}=\begin{bmatrix}2&  0 \\ 0&  0\end{bmatrix}$
$B_{3x3}=\begin{bmatrix}3&  0&0 \\ 0&  7& 0\\0& 0& 0 \end{bmatrix}$

5. Matriks Identitas (I)
  Matriks Identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lainya semuanya 0. Contohnya
$I_{2x2}=\begin{bmatrix}1&  0 \\ 0&  1\end{bmatrix}$
$I_{3x3}=\begin{bmatrix}1&  0& 0 \\ 0&  1& 0\\0& 0& 1 \end{bmatrix}$

6. Matriks nol
   matriks nol adalah matriks yang semua elemen nya adalah 0. contohnya
$A_{2x2}=\begin{bmatrix}0&  0 \\ 0&  0\end{bmatrix}$

D.Transpose Suatu Matriks
   Transpose dari suatu matriks $A$ berordo $m \times n$ adalah matriks yang diperoleh dari matriks $A$ dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya, sehingga ordo nya berubah menjadi $n \times m$ . Notasi transpose $A_{m \times n}$ adalah $A^T_{n\times n}$
Contoh: Tentukan transpose dari matriks  $A_{2x3}=\begin{bmatrix}1&  2 &5 \\ 3&  7 &9\end{bmatrix}$
jawaban:
$A^T_{3\times 2}\begin{bmatrix}1&  3 \\ 2&  7\\5&9\end{bmatrix}$

E. Operasi matriks (penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks)
   jika pada bilangan real berlaku operasi kali, bagi, tambah dan kurang. maka pada matriks hanya ada penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks.

1. penjumlahan dan pengurangan matriks
      syarat dua atau lebih matriks bisa dijumlahkan atau dikurangkan adalah harus memiliki ukuran yang sama, artinya banyak baris dan kolom matriks tersebut harus sama.

contoh: jika diketahui matriks  $A_{4x3}=\begin{bmatrix}3&  7& 5 \\ 6&  7& 9\\2& 1& 4\\9& 2& 1 \end{bmatrix}$ , $B_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}$ dan matriks  $C_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&12\\6&9 \end{bmatrix}$ . Maka tentukan hasil dari
  a. $A+B=$
  b. $B+C=$
  c. $3B=$
  d. $3B-C=$

penyelesaian:
a. tidak bisa dijumlahkan karena matriks A dan matriks B memiliki ukuran yang tidak sama.

$\begin{align*}
b. B+C&=\begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2&12\\6&9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 2+2&5+12\\4+6&9+9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 4&17\\10&18 \end{bmatrix}
\end{align*}$

$\begin{align*}
c.3B&=3\begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 3\times2&3\times5\\3\times4&3\times9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 6&15\\12&27 \end{bmatrix}
\end{align*}$

$\begin{align*}
d.3B-C&=\begin{bmatrix} 6&15\\12&27 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2&12\\6&9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 6-2&15-12\\12-6&27-9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 4&3\\6&18 \end{bmatrix}
\end{align*}$

 2. Perkalian dua matriks
    jika diketahui matriks $A_{m\times n}$ dan $B_{k \times l}$, agar matriks A dapat dikalikan dengan matriks B maka syarat yang harus dipenuhi adalah $n=k$ yaitu banyak nya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
contoh: jika diketahui matriks  $A_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}$ dan matriks  $B_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&12\\6&9 \end{bmatrix}$ dan $C_{3x2}=\begin{bmatrix} 2&12\\6&9\\3&7 \end{bmatrix}$ , maka tentukan:
a. $A\times B$
b. $B \times A$
c. apakah $AB=BA$ ?
d.$A \times C$

penyelesaian:
 $\begin{align*}
a. A\times B&=\begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2&12\\6&9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 2\times2+5\times6&2\times 12+5\times 9\\4 \times 2+9 \times 6&4 \times 12+9 \times 9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 4+30&24+45\\8+30&54+81 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 34&69\\38&135 \end{bmatrix}
\end{align*}$

$\begin{align*}
b. B\times A&=\begin{bmatrix} 2&12\\6&9 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 2\times2+12\times4&2\times 5+12\times 9\\6 \times 2+9 \times 4&6 \times 5+9 \times 9 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 4+48&10+108\\12+36&30+81 \end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} 52&118\\48&111 \end{bmatrix}
\end{align*}$
c. tidak sama

d. karena banyak kolom pada matriks A adalah 2 dan banyak baris pada matriks C adalah 3, maka matriks A dan matriks C tidak memenuhi syarat perkalian matriks.

Download File Bab Matriks (materi dan contoh soal)
F.Determinan Matriks
   Misalkan diketahui matriks $A_{2x2}=\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}$ Determinan dari suatu matriks A dinotasikan dengan det(A) atau |A| yaitu:
$\boxed{|A|=\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc}$

 contoh: Tentukan determinan dari
             a. $B_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}$
             b. $C_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&12\\6&9 \end{bmatrix}$
 penyelesaian:
            a.  $|B|=\begin{vmatrix} 2&5\\4&9 \end{vmatrix}=2\times 9-5\times 4=18-20=-2$
            b.  $|C|=\begin{vmatrix} 2&12\\6&9 \end{vmatrix}=2\times 9-12\times 6=18-72=-54$


G.Invers Matriks
   Misalkan diketahui matriks $A_{2x2}=\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}$. Maka invers dari suatu matriks A dinotasikan dengan $A^{-1}$ yaitu:
$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{|A|} \times \begin{bmatrix} d&-b\\-c&a \end{bmatrix}}$
contoh: tentukan invers matriks dari $B_{2x2}=\begin{bmatrix} 2&5\\4&9 \end{bmatrix}$
penyelesaian:
pada contoh sebelumnya kita sudah mendapatkan nilai dari $|A|$ yaitu $|A|=-2$ , sehingga jika kita masukan ke formula invers, maka diperoleh
 $A^{-1}=\frac{1}{-2} \times \begin{bmatrix} 9&-5\\-4&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{-9}{2}&\frac{5}{2}\\2&-1 \end{bmatrix}$       

H.Persamaan Matriks
  Persamaan matriks adalah suatu persamaan yang memuat bentuk matriks. misal kan $A$ , $B$ dan $X$ adalah suatu matriks. maka
* jika $AX=B$ , maka $X=A^{-1}B$
*jika $XA=B$, maka $X=BA^{-1}$

Contoh : jika diketahui matriks $A=\begin{bmatrix} 8&3\\5&2 \end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix} 2&-1\\0&1 \end{bmatrix}$ .Tentukan matriks X yang memenuhi
a. $AX=B$
b. $XA=B$

Jawaban:
pertama kita cari dulu invers dari matriks A yaitu
 $A^{-1}=\begin{bmatrix} 2&-3\\-5&8 \end{bmatrix}$
sehingga
a. $X=\begin{bmatrix} 2&-3\\-5&8 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2&-1\\0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4&-5\\-10&13 \end{bmatrix}$

b. $X= \begin{bmatrix} 2&-1\\0&1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2&-3\\-5&8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9&-14\\-5&8 \end{bmatrix}$

Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Lengkap materi dan contoh soal Matriks "

artikel menarik untuk anda

loading...