Source: www.pexels.com

Lengkap | materi dan pembahasan contoh soal pangkat akar dan logaritma


   pangkat akar dan logaritma merupakan salah satu bab dalam matematika yang dipelajari pada kelas 10. materi bab ini sangat sering keluar pada ujian nasional, sbmptn dan utbk. Yang akan dijelaskan pada postingan ini adalah Bentuk bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma.
     Download File Bab Pangkat Akar dan Logaritma 
   A.   Bentuk bilangat berpangkat
Secara umum, bilangan berpangkat dikelompokan menjadi 3 yaitu bilangan pangkat positif, bilangan berpangkat nol dan bilangan berpangkat negatif.
1.      Pangkat bulat positif 
     misalkan $n$ adalah suatu bilangan bulat positif dan $a$ suatu bilangan real. Maka $a^{n}=\underbrace{a\times a \times ...\times a}$ sebanyak $n$ . 
contoh: nyatakan dalam bentuk perkalian berulang
      a. $4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$              
      b. $(-3)^{3}=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27$            
      c.$(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
            
    sifat-sifat pangkat bulat positif:
     1)      $a^{n} \times a^{m}=a^{m+n}$ 
            $2^{7} \times 2^{5}=2^{7+5}=2^{12}$    
     2)      $\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{m-n}$
            $\frac{3^{6}}{3^{4}}=3^{6-4}=3^{2}=9$       

     3)   $(a^{n})^{m}=a^{n \times m}$ 
           $(2^{3})^{4}=2^{3 \times 4}=2^{12}$
     4)   $(\frac{a}{b})^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}$
           $(\frac{2}{3})^4=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81}$
     5)  $(\frac{a^{m}}{b^{n}})^{k}=\frac{a^{mk}}{b^{nk}}$
          $(\frac{2^{2}}{3^{4}})^{5}=\frac{2^{10}}{3^{20}}$
     6) $(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$ 
          $(2\times 3)^{4}=2^{4}\times 3^{4}$
 
2.      Pangkat nol dan pangkat bulat negatif 
      misal $a$ suatu bilangan yang tidak nol, maka  
      $a^{0}=1$ 
      $3^{0}=1$
      $2019^{0}=1$ 

      $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
     $3^{-2}=\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}$

  Contoh soal 1. Selesaikanlah
      a.  $2^{1}+2^{0}+2^{-1}=2+1+\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}$ 
      b.  $3^{-1}-2^{-3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{8}=\frac{8-3}{8\times 3}=\frac{5}{24}$ 
      c.   $3^{-1} \times 2^{-1}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
      d.   $(2^{-1}+3^{-1})^{-1}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})^{-1}=(\frac{3+2}{3 \times 2})^{-1}=(\frac{5}{6})^{-1}=\frac{6}{5}$

Contoh soal 2. Nyatakanlah bentuk berikut ke dalam pangkat positif
          a. $3x^{-2}y=\frac{3y}{x^{2}}$
          b. $5x^{3}y^{-2}z^{0}=\frac{5}{y^{2}}$
          c. $\frac{2x^{3}y^{-2}}{3z^{-2}}=\frac{2z^{2}}{3y^{2}}$

Contoh soal 3. Sederhanakanlah bentuk berikut dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat. 
     a.  $\frac{8k^{5}}{2k^{2}}=4k^{5-2}=4k^{3}$ 
     b.  $\frac{3^{5}p^{6}}{3^{2}p^{2}}=3^{5-2} \times p^{6-2}=3^{3}\times p^{4}$ 
     c.  $\frac{96x^{7}y^{-3}}{16x^{-2}y^{2}}=6x^{7-(-2)}y^{-3-2}=6x^{9}y^{-5}=\frac{6x^{9}}{y^{5}}$

Contoh soal 4. (UN 2011) bentuk sederhana dari $(\frac{2a^{5}b^{-5}}{32a^{9}b^{-1}})^{-1}$ adalah  
      penyelesaian:
  $(\frac{2a^{5}b^{-5}}{2^{5}a^{9}b^{-1}})^{-1}=(2^{1-5}a^{5-9}b^{-5+1})^{-1}=(2^{-4}a^{-4}b^{-4})^{-1}=2^{4}a^{4}b^{4}=(2ab)^{-4}$

Contoh soal 5 (UN 2017) Hasil dari $\frac{8^{\frac{-3}{5}}9^{\frac{5}{4}}}{81^{\frac{-1}{8}}64^{\frac{1}{5}}}$ adalah
      penyelesaian:
  $\frac{8^{\frac{-3}{5}}\times 9^{\frac{5}{4}}}{81^{\frac{-1}{8}} \times 64^{\frac{1}{5}}}=\frac{2^{\frac{-9}{5}} \times 3^{\frac{10}{4}}}{3^{\frac{-4}{8}} \times 2^{\frac{6}{5}}}=2^{\frac{-9}{5}-\frac{6}{5}} \times 3^{\frac{10}{4}-\frac{-2}{4}}=2^{\frac{-15}{5}}3^{\frac{12}{4}}=2^{-3} \times 3^{3}=\frac{27}{8}$

B. Bentuk akar
      Secara Umum,  bentuk akar dapat ditulis dalam bentuk
                                           $$\sqrt[n]{a}$$
     ( $\sqrt[n]{a}$ dibaca ''akar pangkat n dari a '') 
   dengan: $\sqrt[n]{a}$ disebut bentuk akar
                 $\sqrt{}$ disebut lambang bentuk akar
                 $n$ disebut pangkat akar
                 $a$ disebut bilangan rill

    sifat-sifat bentuk akar:  
    1. $\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
    2. $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
    3. $p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}$
    4. $p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}$

Contoh soal 6. sederhanakan bentuk akar berikut dengan menggunakan sifat-sifat akar
     a.  $\sqrt{54}=\sqrt{9\times 6}=\sqrt{9}\times \sqrt{6}=3\sqrt{6}$  (gunakan sifat 1)
     b. $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36} \times \sqrt{2}=6\sqrt{2}$ (gunakan sifat 1)
     c. $\sqrt{\frac{2}{25}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{2}}{5}$ (gunakan sifat 2)
     d. $\sqrt[3]{128}=\sqrt[3]{64\times2}=\sqrt[3]{64} \times\sqrt[3]{2}=4\sqrt[3]{2}$ (gunakan sifat 3)

 
Contoh soal 7. Sederhanakanlah bentuk operasi berikut
     a.  $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3+5)\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ (gunakan sifat 3)
     b. $\sqrt{3}+6\sqrt{3}=(1+6)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
     c. $\sqrt{45}+3\sqrt{20}-5\sqrt{5}=\sqrt{9\times 5}+3\sqrt{4\times 5}-5\sqrt{5}$
                                          $=3\sqrt{5}+6\sqrt{5}-5\sqrt{5}$
                                          $=(3+6-5)\sqrt{5}$
                                          $=4\sqrt{5}$
     
 Merasionalkan Bentuk Akar
 1. Pecahan Bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$
      Bentuk akar $\frac{a}{\sqrt{b}}$ dengan dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan dengan $\sqrt{b}$ sehingga
$$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$$
  2. Pecahan Bentuk $\frac{a}{b-\sqrt{c}}$ atau $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$
      untuk menyederhanakan bentuk di atas, maka dapat kita kalikan dengan akar sekawan.
      $\frac{a}{b+\sqrt{c}}=\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times \frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}=\frac{a(b-\sqrt{c})}{b^{2}-c}$
     $\frac{a}{b-\sqrt{c}}=\frac{a}{b-\sqrt{c}}\times \frac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}}=\frac{a(b+\sqrt{c})}{b^{2}-c}$

  Contoh soal 8. sederhanakanlah bentuk akar berikut dengan merasionalkan 
    a. $\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}$
    b. $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$
    c. $\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4}{3-\sqrt{5}}\times\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=3+\sqrt{5}$

 C. Logaritma
     logaritma memiliki hubungan yang erat dengan bilangan berpangkat, hubungannya adalah
    $$a^{c}=b\leftrightarrow ^alog{b}=c$$ 
    dengan:  a=bilangan pokok atau basis $a>1$
                   b=numerus , $x>0$
                   c=hasil logaritma
   
 Sifat-sifat Logaritma
 1. untuk $a>0 , a/neq1$ , berlaku
     $^alog{a}=1$
     $^alog{1}=0$   
     $log{10}=1$ 

2. untuk $a>0, a\neq1 , b>0 dan c>0$ serta a, b , dan c anggota bilangan real.
     $^alog {bc}=^alog{b}+^alog{c}$
3. $^alog{\frac{b}{c}}=^alog{b}-^alog{c}$
4. $^alog{b}^{n}=n^alog{b}$

Subscribe to receive free email updates:

4 Responses to "Lengkap | materi dan pembahasan contoh soal pangkat akar dan logaritma"

Haogoli said...

Format pdf nya gak ada ya Pak?

Engki Mai Putra S.Si said...

Ini saya ketik langsung di blog :v

Unknown said...

sekedar saran aja pak
kalau ketik langsung di blog begini yang baca banyak yang tidak paham
mending bentuk gambar atau pdf begitu
maaf cuma saran

Engki Mai Putra S.Si said...

Wahh, terima kasih atas masukan nya pak.. nanti saya coba buat juga versi file pdf nya

artikel menarik untuk anda

loading...